主题二 第三章 第3节 导数与函数的极值、最值-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，北师大版）

第3节　导数与函数的极值、最值 [课程标准要求] 1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 必备知识·课前回顾 回顾教材,夯实四基 1.函数的极值与导数的关系 (1)在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值,称点x0为函数y=f(x)的 ,其函数值f(x0)为函数的 . (2)在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值,称点x0为函数y=f(x)的 ,其函数值f(x0)为函数的 . (3)函数的极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为 . 极大值点 极大值 极小值点 极小值 极值 极值点满足的两个条件:极值点处的导数等于零,并且两侧导数的符号相反. (4)求极值的方法 一般地,可按如下方法求函数y=f(x)的极值: 解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时: ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是 值; ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是 值. 极大 极小 对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.如f(x)=x3在定义域上是增函数,其导数f′(0)=0,但是x=0却不是其极值点. 2.函数的最值与导数 一般地,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的 ; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中 的一个是最大值, 的一个是最小值. 极值 最大 最小 (1)若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点. (2)极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极值. 1.(多选题)已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是(　 　) A.f(x)在x=-4时取极小值 B.f(x)在x=-2时取极大值 C.1.5是f(x)的极小值点 D.3是f(x)的极小值点 解析:由导函数f′(x)的图象可得,当x=-4时,其左边的导数小于零,右边的导数大于零,所以f(x)在x=-4时取极小值,所以A正确;当x=1.5时,其左边的导数小于零,右边的导数大于零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两边的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误. AC B BC 答案:0 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 利用导数研究函数的极值 根据函数图象判断函数极值 解析:根据导函数图象可知,在区间(-∞,0)上,f′(x)<0,f(x)单调递减,在区间(0,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=0处取得极小值,没有极大值. 所以A,B,D选项正确,C选项错误.故选ABD. 由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;(2)由导函数y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点. 求函数的极值 [例2] (2022·北京模拟)已知函数f(x)=ex-ax-1. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; 解:(1)f′(x)=ex-a,所以k=f′(0)=1-a, f(0)=0,所以切点为(0,0), 所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=(1-a)x. [例2] (2022·北京模拟)已知函数f(x)=ex-ax-1. (2)求函数f(x)的极值. 解:(2)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=ex-a, 当a≤0时,f′(x)=ex-a≥0对x∈R恒成立, f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,无极值; 当a>0时,令f′(x)=0,所以ex=a,x=ln a, x (-∞,ln a) ln a (ln a,+∞) f′(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ f(x)在x=ln a处取得极小值f(ln a)=a-aln a-1,无极大值. 运用导数求函数f(x)极值的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f′(x); (3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; (4)列表检验f′(x