主题二 第三章 第2节 导数与函数的单调性-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，北师大版）

第2节　导数与函数的单调性 [课程标准要求] 1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 必备知识·课前回顾 回顾教材,夯实四基 1.函数的单调性与导数的关系 (1)若在某个区间内,函数y=f(x)的导数f′(x)>0,则在这个区间内,函数y=f(x) . (2)若在某个区间内,函数y=f(x)的导数f′(x)<0,则在这个区间内,函数y=f(x) . (3)若在某个区间内,f′(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递增;若在某个区间内,f′(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间内,函数y=f(x)单调递减. 单调递增 单调递减 函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f′(x)≥0,“f′(x)>0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件.如f(x)=x3在定义域上是增函数,但是其导数f′(x)=3x2≥0. 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步,确定函数的 ; 第2步,求出导数f′(x)的 ; 第3步,用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 定义域 零点 BC 1.(多选题)如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下列判断正确的是 (　 　) A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增 B.在区间(2,3)上f(x)单调递减 C.在区间(4,5)上f(x)单调递增 D.在区间(3,5)上f(x)单调递减 B A D 解析:由题意,得f′(x)=x2-3x+a, 又f(x)的单调递减区间为[-1,4], 所以f′(x)=x2-3x+a≤0的解集为[-1,4], 所以-1,4是方程f′(x)=0的两根, 则a=(-1)×4=-4. 答案:-4 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 不含参数的函数的单调性 A AB 3.函数f(x)=(x-1)ex-x2的单调递增区间为　　　,单调递减区间为　　　　. 答案:(-∞,0),(ln 2,+∞)　(0,ln 2) 求函数的单调区间的方法: (1)确定函数y=f(x)的定义域. (2)求导数f′(x). (3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 注意:若一个函数有多个相同的单调区间,各个单调区间之间不能用“∪”与“或”,只能用“,”与“和”隔开. 含参数的函数的单调性 (1)划分函数的单调区间时,不但要在函数定义域内讨论,而且还要确定导数为0的点和函数的间断点. (2)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论主要是讨论参数的不同取值求出单调性,主要讨论点: ①最高次项系数是否为0; ②导函数是否有极值点; ③导函数两零点的大小关系; ④导函数零点与定义域的关系(即导函数零点与定义域端点的关系)等. 易错警示:(1)若函数的导数中自变量的最高次数含参数,需要考虑参数的正负对函数单调性的影响. (2)若导函数的解析式的主要部分是二次多项式或者可转化为二次多项式且不能够因式分解,则需要考虑二次三项式是否存在零点,这里涉及对判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论. [针对训练] 已知函数f(x)=(x-a-1)ex-x2+2ax(a∈R),讨论f(x)的单调性. 解:f′(x)=(x-a)ex-2x+2a=(x-a)(ex-2), 令f′(x)=0,则x=a或x=ln 2. 若a=ln 2,f′(x)≥0,所以函数f(x)在R上单调递增; 若a>ln 2,当x>a或x<ln 2时,f′(x)>0,当ln 2<x<a时,f′(x)<0, 所以函数f(x)在(-∞,ln 2)和(a,+∞)上单调递增,在(ln 2,a)上单调递减; 若a<ln 2,当x>ln 2或x<a时,f′(x)>0, 当a<x<ln 2时,f′(x)<0, 所以函数f(x)在(-∞,a)和(ln 2,+∞)上单调递增,在(a,ln 2)上单调递减. 综上所述,当a=ln 2时,函数f(x)在R上单调递增; 当a>ln 2时,函数f(x)在(-∞,ln 2)和(a,+∞)上单调递增,在(ln 2,a)上单调递减; 当a<ln 2时,函数f(x)在(-∞,a)和(ln 2,+∞)上单调递增,在(a,ln 2)上单调递减. 导数与函数单调性关系的应用 利用导数研究函数图象 [例2] 设函数f(x)在定义域内可导,f(x)的图象如图所示,则其导函数f