主题二 第二章 培优课(一) 抽象函数的性质-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，北师大版）

培优课(一)　抽象函数的性质 我们把不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数,一般用y=f(x)表示,抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质,将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身,是考查函数的良好载体. 抽象函数问题,其构思新颖,条件隐蔽,技巧性强,解法灵活,往往让学生感觉头痛.因此,我们应该掌握简单常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型,及其应用问题的基本方法.借助特殊函数模型有利于打开解题思路,有时会起到事半功倍的效果. 常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型: 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 抽象函数求值 [典例1] (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x+y)=f(x)+f(y)+1,则f(4)=　　　　.  解析:(2)令x=y=1, 则f(2)=f(1)+f(1)+1=3. 令x=y=2,则f(4)=f(2)+f(2)+1=7. 答案:(2)7 抽象函数求值问题常用赋值法,赋值主要从以下方面考虑:令x=…,-2,-1,0, 1,2…等特殊值求抽象函数的函数值. 2.已知定义在R上的函数f(x)满足:∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,则f(0)+f(2)等于(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:因为∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2, 令x=0,y=1,则有f(1)=f(1)f(0), 又f(1)=2,则f(0)=1, 令x=y=1,则有f(2)=f(1)f(1)=2×2=4, 所以f(0)+f(2)=5.故选B. 抽象函数的单调性与抽象不等式 [典例2] (2023·广西模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+ f(y)+1;②当x>0时,f(x)>-1. (1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是增函数; 解:(1)令x=y=0,得f(0)=-1. 在R上任取x1>x2, 则x1-x2>0,f(x1-x2)>-1. 又f(x1)=f((x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2), 所以函数f(x)在R上是增函数. 解:(2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5. 由f(x2+2x)+f(1-x)>4, 得f(x2+2x)+f(1-x)+1>5, 即f(x2+x+1)>f(3), 又函数f(x)在R上是增函数,故x2+x+1>3, 解得x<-2或x>1, 故原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}. [典例2] (2023·广西模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+ f(y)+1;②当x>0时,f(x)>-1. (2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4. (1)抽象函数的单调性的证明,关键是要依据单调性的定义和题目条件利用x1与x2的大小关系构造出一个大于(或小于)0的数. (2)在解决与抽象函数有关的不等式问题时,可通过脱去函数符号“f”化为一般不等式求解,但无论如何都必须在同一单调区间内进行;若不等式一边没有“f”,而是常数,则应将常数转化为函数值. 答案:(3,4] 抽象函数的奇偶性 [典例3] 设函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0. (1)证明f(x)为奇函数; 证明:(1)由于函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y), 令x=y=0,可得f(0)=0, 再令y=-x,可得f(x-x)=f(x)+f(-x),即0=f(x)+f(-x),所以f(-x)=-f(x), 因此,函数y=f(x)为奇函数. 证明:(2)设x1>x2,则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2), 因为x1>x2,则x1-x2>0, 所以f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)<0, 所以f(x1)<f(x2), 因此,函数y=f(x)在R上是减函数. [典例3] 设函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0. (2)证明f(x)在R上是减函数. 抽象函数中求特殊的函数值,讨论函数的奇偶性及依此解关于x的不等式等问题多运用“赋值法”进行求值和化简. [拓展演练] 定义在R上的函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1. (1)若g(x)=f(x)-1,证明:g(x)是奇函数; (1)证明:令a=b=0,则f(0)=2f(0)-1, 得f(0)=1. 令b=-a,则f(0)=f(a)+f(-a)-1=1, 即[f(a)-1]+[f(-a)-1]=0. 因为