主题二 第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，北师大版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 [课程标准要求] 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义. 2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,判断应用函数的周期性. 必备知识·课前回顾 回顾教材,夯实四基 1.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为A,如果对任意的x∈A,都有-x∈A 且 ,那么称函数f(x)为偶函数 且 ,那么称函数f(x)为奇函数 图象 特征 关于 对称 关于 对称 f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) y轴 原点 函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称. 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,对于函数f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x+T∈D,且满足 ,那么函数y=f(x)称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个 的正数,那么这个 就称作函数y=f(x)的最小正周期. f(x+T)=f(x) 最小 最小正数 (1)若T是函数f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期. (2)不是所有的周期函数都有最小正周期,如常函数f(x)=c(c是常数)是周期函数,但没有最小正周期. 1.奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|). (3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数. (4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.周期性的常用结论 设函数y=f(x),x∈R,a>0. (1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a. (2)若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为2a. 3.对称性的四个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x). (2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称,即f(b+x)+ f(b-x)=0或f(x)+f(2b-x)=0. 1.(多选题)下列说法正确的是(　 　) A.图象关于坐标原点对称的函数是奇函数 B.图象关于y轴对称的函数是偶函数 C.函数y=x2在(0,+∞)上是偶函数 D.若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0 解析:由奇函数、偶函数的性质,知A,B说法正确;对于C,由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性,错误;对于D,由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,则f(x)须在x=0处有意义才满足f(0)=0,错误.故选AB. AB B C 答案:-7 4.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-3)=　　　　. 解析:因为f(x)为R上的奇函数, 所以f(0)=0, 即f(0)=20+m=0, 解得m=-1, 故f(x)=2x-1(x≥0), 则f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7. 5.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=　　　　.  ①f(x)是定义域为R的奇函数;②f(1+x)=f(1-x);③f(1)=2. 关键能力·课堂突破 类分考点,落实四翼 函数奇偶性的判断及应用 解析:因为f(x)=x3(a·2x-2-x)的定义域为R,且是偶函数, 所以f(-x)=f(x)对任意的x∈R恒成立, 所以(-x)3(a·2-x-2x)=x3(a·2x-2-x)对任意的x∈R恒成立,所以x3(a-1)(2x+ 2-x)=0对任意的x∈R恒成立,所以a=1. 1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　.　  答案:1 2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-2x+a,则a=　 　;当x<0时,f(x)=　　　　. 解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(0)=0,即1+a=0,所以a=-1. 所以当x≥0时,f(x)=2x-2x-1, 设x<0,则-x>0,所以f(-x)=2-x-2(-x)-1=2-x+2x-1, 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x), 所以-f(x)=2-x+2x-1,所以f(x)=-2-x-2x+1. 答案:-1　-2-