主题三 第七章 培优课(三) 与球有关的切接问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，北师大版）

培优课(三)　与球有关的切接问题 1.球心的相关性质 (1)球心到球面上各点的距离相等; (2)球的截面是圆面,球心与截面圆圆心的连线垂直于截面,过截面圆圆心作截面的垂线必经过球心. 2.球的切、接问题的常用结论 (1)长、宽、高分别为a,b,c的长方体的体对角线长等于外接球的直径,即=2R. (2)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形:一是球内切于正方体,此时2R=a;二是球与正方体的十二条棱相切,此时2R=a;三是球外接于正方体,此时2R=a. (3)若直棱柱(或有一条棱垂直于底面的棱锥)的高为h,底面外接圆半径为x,则该几何体外接球半径R满足R2=()2+x2. (4)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 3.正四面体外接球和内切球 如图,设正四面体的棱长为a,内切球的半径为r,外接球的半径为R,取AB的中点为D,连接CD,SD,SE为正四面体的高,在截面三角形SDC内 作一个与边SD和DC相切,圆心在高SE上的圆.因为正四面体本身的对称性,内切球和外接球的球心同为O.此时,CO=OS=R,OE=r,SE=a,CE=a,则有R+r=a,R2-r2=|CE|2=,解得R=a,r=a. 4.“切”“接”问题的处理规律 (1)“切”的处理 解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决. (2)“接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径. (3)同一个几何体的外接球和内切球 ①正多面体的内切球和外接球的球心重合; ②正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不一定重合; ③正棱柱的内切球球心,在上下底面外接圆圆心连线的中点,和外接球的球心重合. 构造法 [典例1] 已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的球面上,若AB⊥平面BCD,∠CBD=90°,CD=4,AB=2,则球O的表面积为(　　) A.28π B.30π C.32π D.36π 解析:由于B处的三条棱两两垂直,可以把三棱锥补成长方体,设球O半径为R, 则(2R)2=BC2+BD2+AB2=CD2+AB2=28,所以球表面积S=4πR2=28π.故选A. 常见的构造长方体模型 (1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内,如图1所示. (2)若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体,如图2所示. (3)正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=,如图3所示. (4)若三棱锥的对棱两两相等,则可将其放入某个长方体内,如图4所示. [拓展演练] (1)(2022·陕西咸阳一模)已知正四面体S-ABC的外接球表面积为6π,则正四面体S-ABC 的体积为(　　) A. B. C. D. (2)在△ABC中,AB=AC=2,cos A=,将△ABC绕BC旋转至△BCD的位置,使得AD=,如图所示,则三棱锥D-ABC外接球的体积为　　　　.  解析:(1)设外接球半径为R,则S=4πR2=6π, 解得R=,将正四面体S-ABC补成正方体,知正四面体的棱为正方体的面对角线, 则正四面体S-ABC的外接球即为正方体的外接球, 则正方体的体对角线等于外接球的直径,设正方体的棱长为a,则3a2=6,解得a=,故该正四面体的体积为()3-4×××××=.故选A. (2)在△ABC中,由余弦定理得BC2=22+22-2×2×2×,所以BC=. 在三棱锥D-ABC中,AB=AC=DB=DC=2,AD=BC=. 将三棱锥D-ABC放入长方体中,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c, 三棱锥D-ABC外接球的半径为R,则a2+b2=4,b2+c2=4,a2+c2=2, 所以a2+b2+c2=5, 所以R==, 从而三棱锥D-ABC外接球的体积V=πR3=. 答案:(1)A　(2) 外接球的球心问题 [典例2] 三棱锥P-ABC中,△PAC是边长为2的等边三角形,AB=BC=2,平面PAC⊥平面ABC,则该三棱锥的外接球的体积为　.  解析:由题意,等边△PAC的高为 h=2sin=3, 等边△PAC的外接圆半径为r=×3=2, 在△ABC中, cos∠ABC==-, 则sin∠ABC=, 则△ABC外接圆半径为·=2, 设O1,O2分别是△PAC,△ABC的外心, 则O2A=2, 设O是三棱锥P-ABC的外接球的球心,R是外接球的半径,则OO2=1, 所以R2=OA2=A+O=22+12=5, 所以R=, 所以三棱锥的外接球的体积为 V==. 答案: 确定多面体外接球球心的方法 寻找几何体中两个面的多边形的外接圆的圆心即为O1,O2,分别过O1,O2作两个平面的垂线即为l1,l2,l1,l2的