主题三 第七章 第5节 空间向量及空间位置关系-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，北师大版）

第5节　空间向量及空间位置关系 [课程标准要求] 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直. 3.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 1.空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 — 相等向量 方向相同且模相等的向量 a=b 相反向量 方向相反且长度相等的向量 a的相反 向量-a 共线向量 表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一平面的向量 — (2)空间向量中的有关结论 ①空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb. ②在平面内,任意给定两个不共线的向量a,b,根据平面向量基本定理,对于该平面内的任意一个向量p,存在唯一的有序实数对(x,y),使得p=xa+yb. ③空间向量基本定理:如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,那么存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫作空间的一组基. 2.空间向量的数量积及坐标运算 (1)两个非零空间向量的数量积 ①a·b=|a||b|cos<a,b>; ②a⊥b⇔a·b=0; ③设a=(x,y,z),则a2=|a|2,|a|=. (2)空间向量的坐标运算 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 向量和 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) 向量差 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) 数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3 共线 a∥b⇒a1=λb1, a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0 夹角 公式 cos<a,b>= 3.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量,一条直线有无数个方向向量. (2)平面的法向量 如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量.显然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量. (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1= λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2=0 直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m=0 l⊥α n∥m⇔n=λm(λ∈R) 平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m⇔n=λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m=0 1.空间向量基本定理的三点注意 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基. (2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量. (3)基选定后,空间的所有向量均可由这组基唯一表示. 2.证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线: (1)=λ(λ∈R). (2)对空间任一点O,=+t(t∈R). (3)对空间任一点O,=x+y(x+y=1). 3.证明空间四点共面的方法 对空间四点P,M,A,B除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明四点共面: (1)=x+y(x,y∈R). (2)对空间任一点O,=+x+y(x,y∈R). 1.若{a,b,c}为空间的一组基,则下列各项中能构成空间的基的一组向量是(　C　) A.{a,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b} C.{c,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b} 解析:对于A,因为(a+b)+(a-b)=2a, 所以a,a+b,a-b共面,不能构成一组基,排除A; 对于B,因为(a+b)-(a-b)=2b, 所以b,a+b,a-b共面,不能构成一组基,排除B; 对于D,a+2b=(a+b)-(a-b), 所以a+b,a-b,a+2b共面,不能构成一组基,排除D; 对于C,若c,a+b,a-b共面, 则c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b(λ,μ∈R),则a,b,c共面,与{a,b,c}为空间的一组基相矛盾,故c,a+b,a-b可以构成空间的一组基. 2.已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示,则等于(　D　) A.(b+c-a) B.(a+b+c