主题三 第七章 第3节 空间直线、平面的平行-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，北师大版）

第3节　空间直线、平面的平行 [课程标准要求] 1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定. 2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题. 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 定 理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) 因为l∥a, a⊂α, l⊄α, 所以l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行(线面平行⇒线线平行) 因为l∥α, l⊂β, α∩β=b, 所以l∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行(线面平行⇒面面平行) 因为a∥β,b∥β,a∩b=P,a⊂α,b⊂α, 所以α∥β 性质 定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行(面面平行⇒线线平行) 因为α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,所以a∥b 1.平行间的三种转化关系 2.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b. 3.平行问题中的唯一性 (1)过直线外一点与该直线平行的直线有且只有一条. (2)过平面外一点,与该平面平行的平面有且只有一个. 1.(2022·辽宁鞍山模拟)已知平面α,两条不同直线l和m,若m⊂α,则“l∥m”是“l∥α”的(　D　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:根据题意,l∥m且l⊄α,才有l∥α, 反之,若l∥α,l与m可能异面, 故“l∥m”是“l∥α”的既不充分也不必要条件. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为　.  解析:如图所示,连接BD交AC于F,连接EF, 则EF是△BDD1的中位线, 所以EF∥BD1, 又EF⊂平面ACE, BD1⊄平面ACE, 所以BD1∥平面ACE. 答案:平行 3.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A′,B′,C′,若PA′∶AA′=3∶4,则S△A′B′C′∶S△ABC=　　　　.  解析:由题意,因为平面α∥平面ABC, 所以A′B′∥AB,B′C′∥BC,A′C′∥AC, 所以PA′∶PA=PB′∶PB=A′B′∶AB, PB′∶PB=PC′∶PC=B′C′∶BC, PC′∶PC=PA′∶PA=A′C′∶AC, 所以A′B′∶AB=B′C′∶BC=A′C′∶AC, 所以△A′B′C′∽△ABC. 所以S△A′B′C′∶S△ABC=A′B′2∶AB2. 又因为PA′∶A′A=3∶4, 所以PA′∶PA=3∶7, 所以A′B′∶AB=3∶7, 所以S△A′B′C′∶S△ABC=9∶49. 答案:9∶49 直线、平面平行的基本问题 1.(多选题)平面α与平面β平行的条件可以是(　BCD　) A.α内有无数条直线都与β平行 B.α内的任何直线都与β平行 C.两条相交直线同时与α,β平行 D.两条异面直线同时与α,β平行 解析:当α内有无数条直线与β平行时,α与β可能平行,也可能相交,故A错误; 当α内的任何直线都与β平行时,必有两条相交直线与β平行,故B正确; 两条相交直线同时与α,β平行,设两相交直线确定平面γ,则γ∥α,γ∥β,可得α∥β,故C正确; 两条异面直线同时与α,β平行,则可在一条直线上取一点作另一条直线的平行线,问题转化为C项的条件,故D正确. 2.a,b是空间两条不相交的直线,那么过直线b且平行于直线a的平面(　B　) A.有且仅有一个 B.至少有一个 C.至多有一个 D.有无数个 解析:因为a,b是空间两条不相交的直线, 所以a,b的位置关系有两种:即平行或异面. 若a,b平行,那么过直线b且平行于直线a的平面有无数个; 若a,b异面,如图, 在b上任取一点O,过O作c∥a,则b,c确定平面α,所以a∥α,那么过直线b且平行于直线a的平面只有1个.综上,过直线b且平行于直线a的平面至少有一个. 3.(多选题)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,则(　ABD　) A.平面PAD内任意一条直线都不与BC平行 B.平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行