主题三 第六章 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，北师大版）

第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用 [课程标准要求] 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角. 5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件. 1.向量的夹角 已知两个非零向量a和b,在平面内选一点O,作=a,=b,则θ=∠AOB称为向量a与b的夹角,向量夹角的范围是[0,π]. 2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a,b的夹角为θ,则|a||b|·cos θ称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|·cos θ.规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0 投影 已知两个非零向量a和b,作=a,=b,过点A向直线OB作垂线,垂足为A′,得到a在b上的投影γ=,γ称为投影向量. |a|cos<a,b>称为投影向量γ的数量,也称为向量a在向量b方向上的投影数量,可以表示为a· 投影向量 的表示 a在b上的投影向量为·,a在b上的投影向量的模为 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律:a·b=b·a; (2)数乘结合律:λ (a·b)=(λ a)·b=a·(λ b)  (λ∈R); (3)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c. 4.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=<a,b>. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|= |a|= 数量积 a·b= |a||b|cos θ a·b=x1x2+y1y2 夹角 cos θ= cos θ= a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0 a∥b |a·b|=|a||b| x1y2=x2y1 |a·b|与 |a||b|的 关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤ · 1.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线; 两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)·(a-b)=a2-b2. (2)(a+b)2=a2+2a·b+b2. (3)(a-b)2=a2-2a·b+b2. 3.设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则 (1)O为△ABC的重心⇔++=0. (2)O为△ABC的内心⇔a+b+c=0. (3)O为△ABC的垂心⇔·=·=·. 1.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,则下列结论正确的是(　CD　) A.0·a=0 B.a·b=b·c,则a=c C.a·b=0⇒a⊥b D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2 2.已知|a|=5,|b|=,a·b=5,则a与b的夹角θ等于(　A　) A.45° B.135° C.-45° D.30° 解析:由题意知cos θ===,又θ∈[0°,180°],所以θ=45°. 3.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a上的投影数量为　　　.  解析:由数量积的定义知,b在a上的投影数量为|b|cos θ=4×cos 120°=-2. 答案:-2 4.(2021·北京卷)已知a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),则(a+b)·c=　　　　,a·b=　.  答案:0　3 平面向量数量积的运算 1.(2019·全国Ⅱ卷)已知=(2,3),=(3,t),||=1,则·等于(　C　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 解析:由=-=(1,t-3),||==1,得t=3,则=(1,0),·=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2. 2.(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a=　　　　.  解析:由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,因此,a·b+b·c+c·a=-. 答案:- 3.已知向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则向量a-b在向量a+b上的投影数量是　.  解析:依题意得(a-b)·(a+b)=a2-b2=-3,(a+b)2=a2+b2+2a·b=3,即|a+b|=,向量a-b在向量a+b上的投影数量是==-. 答案:- 4.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=　　　　.  解析:如图,在等腰△ABE中,易得∠BAE=∠ABE=30°,故BE=2. 则·=(-)·(+