主题二 第二章 第5节 指数与指数函数-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，北师大版）

第5节　指数与指数函数 [课程标准要求] 1.通过对正分数指数幂(a>0,且n>1,m,n互素)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1,x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 1.正分数指数幂 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=.这就是正分数指数幂. 2.实数指数幂的运算性质 对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质: (1)aα·aβ=aα+β; (2)(aα)β=aαβ; (3)(ab)α=aαbα. 有理数指数幂的运算性质中,要求底数都大于0,否则不能用性质来运算. 3.指数函数的概念、图象与性质 函数 y=ax(a>0,且a≠1) 0<a<1 a>1 图 象 图象特征 在x轴上方,过定点(0,1) 当x逐渐增大时,图象逐渐下降 当x逐渐增大时,图象逐渐上升 性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 单调性 单调递减 单调递增 函数变 化规律 当x=0时,y=1 当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1 当x<0时,0<y<1;当x>0时,y>1 形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0,k≠1;a>0且a≠1)的函数叫作指数型函数,不是指数函数. 1.指数函数图象的对称规律 函数y=ax的图象与y=a-x的图象关于y轴对称,y=ax的图象与y=-ax的图象关于x轴对称,y=ax的图象与y=-a-x的图象关于坐标原点对称. 2.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图所示(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高. 1.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是(　A　) 解析:易知f(x)为偶函数,且f(x)=1-e|x|≤0,A正确. 2.函数f(x)=2ax+1-1(a>0,且a≠1)恒过定点(　B　) A.(-1,-1) B.(-1,1) C.(0,2a-1) D.(0,1) 解析:令x+1=0,解得x=-1,且f(-1)=1,故函数f(x)=2ax+1-1(a>0,且a≠1)恒过定点(-1,1). 3.(2022·重庆月考)计算:×(-)0+×-=　　　　. 解析:原式=×1+×-=2. 答案:2 指数幂的运算 1.当a>0时,等于(　C　) A.x B.x C.-x D.-x 解析:由成立可知-ax3≥0,结合a>0得x3≤0,即x≤0,因此==·=·|x|=-x. 2.化简÷的值为　　　　.  解析:原式=÷() =÷( =÷( =÷(ab) = =. 答案: 3.计算:+0.00-10(-2)-1+π0=　　　　.  解析:原式=(-)-2+50-+1=+10-10-20+1=-. 答案:- (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: ①必须同底数幂相乘,指数才能相加. ②运算的先后顺序. (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 指数函数的图象及应用 [例1] 已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示,求实数a,b的取值范围; (2)若f(x)的图象如图②所示,|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求m的取值范围. 解:(1)由f(x)=ax+b为减函数可得0<a<1,又f(0)=1+b<0,解得b<-1,所以实数a的取值范围为(0,1),实数b的取值范围为(-∞,-1). (2)题图②中f(0)=1+b=-2,所以b=-3,函数y=|f(x)|的图象如图所示. 由图象可知若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,则m=0或m≥3,所以m的取值范围为{0}∪[3,+∞). [典例迁移1] 若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第二、第三、第四象限,一定有(　　) A.0<a<1,且b<0 B.a>1,且b>0 C.0<a<1,且b>0 D.a>1,且b<0 解析:由题意作出函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的大致图象如图所示,由图可知函数是一个减函数,则0<a<1;图象与y轴的交点在y轴的负半轴上(纵截距小于零), 即a0+b-1<0,可得b<0, 所以0<a<1,且b<0.故选A. [典例迁移2] 若函数y=()|1-x|+m的图象与x轴 有公共点,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,-1] B.[-1,0) C.[1,+∞) D.(0,1