主题四 第十章 培优课(六) 概率、统计与其他知识的交汇问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，北师大版）

培优课(六)　概率、统计与其他知识的交汇问题 概率、统计与其他知识的交汇问题主要是指概率、统计与函数、不等式及数列问题的综合应用,求解的主要方法是利用概率统计知识建立相应的数学模型,然后利用该模型涉及的知识求解. 概率与不等式的综合应用 [典例1] (2022·云南昆明高三联考)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,记其质量指标为k,当k≥85时,产品为一级品;当75≤k<85时,产品为二级品;当70≤k<75时,产品为三级品.现用两种新工艺(分别称为A工艺和B工艺)做实验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:(以下均视频率为概率). A工艺的频数分布表: 指标值 分组 [75,80) [80,85) [85,90) [90,95] 频数 10 30 40 20 B工艺的频数分布表: 指标值 分组 [70, 75) [75, 80) [80, 85) [85, 90) [90, 95] 频数 5 10 15 40 30 (1)若从B工艺产品中有放回地随机抽取4件,记“抽出的B工艺产品中至多有2件二级品”为事件C,求事件C的概率; (2)若两种新产品的利润率y与质量指标值k满足如下关系:y=(其中<t<),应用统计知识,请你说明最好投资哪种工艺? 解:(1)抽中二级品的概率P1==,没抽中二级品的概率P2=, 所以抽出的B工艺产品中至多有2件二级品的概率P(C)=1-()3×-()4=. (2)A的分布列为 yA t 5t2 P 0.6 0.4 则EyA=0.6t+0.4×5t2=0.6t+2t2, B的分布列为 yB t 5t2 t2 P 0.7 0.25 0.05 则EyB=0.7t+0.25×5t2+0.05t2 =0.7t+1.3t2, 所以EyA-EyB=0.7t2-0.1t=t(t-). 当<t<时,EyA-EyB<0,从长期来看,投资B工艺的产品平均利润率较大,最好投资B工艺; 当t=时,EyA-EyB=0,从长期来看,投资A工艺和B工艺的产品平均利润率相等,投资A工艺或B工艺均可; 当<t<时,EyA-EyB>0,从长期来看,投资A工艺的产品平均利润率较大,最好投资A工艺. 概率与不等式的综合应用常见的问题就是利用不等式比较大小的方法进行决策或者利用不等式的解法求概率的取值范围等,求解此类问题时,应准确地将概率知识转化为不等式知识. [拓展演练] 某理财公司有两种理财产品A和B,这两种理财产品一年后盈亏的情况如下(每种理财产品的不同投资结果之间相互独立): 产品A 投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20% 概率 产品B 投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10% 概率 p q 注:p>0,q>0. (1)已知甲、乙两人分别选择了产品A和产品B投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于,求实数p的取值范围; (2)若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资,以一年后投资收益的期望为决策依据,则选用哪种产品投资较理想? 解:(1)记事件A为“甲选择产品A且盈利”,事件B为“乙选择产品B且盈利”,事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”, 则P()=,P()=1-p, 所以P(C)=1-P( )=1-(1-p)=+>,解得p>. 又因为p++q=1,q>0,所以p<. 综上,p的取值范围为(,). (2)假设丙选择产品A进行投资,且记X为获利金额(单位:万元),则随机变量X的分布列为 X 4 0 -2 P 则EX=4×+0×+(-2)×=1. 假设丙选择产品B进行投资,且记Y为获利金额(单位:万元),则随机变量Y的分布列为 Y 2 0 -1 P p q 则EY=2·p+0×+(-1)·q=2p-q=2p-(-p)=3p-(0<p<). 讨论: 当p=时,EX=EY,选择产品A和产品B一年后投资收益的期望相同,可以在产品A和产品B中任选一个; 当0<p<时,EX>EY,选择产品A一年后投资收益的期望较大,应选产品A; 当<p<时,EX<EY,选择产品B一年后投资收益的期望较大,应选产品B. 概率与函数的综合应用 [典例2] 已知事件A,B相互独立,若事件A发生的概率为p,事件B发生的概率为1-p,则事件A与B同时发生的概率的最大值为　　　　. 解析:依题意,A与B同时发生的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=p(1-p)=-p2+p=-(p-)2+, 所以当p=时,P(AB)取最大值. 答案: 概率与函数的综合应用主要就是利用函数的有关知识求解与概率有关的最值问题,涉及与概率有关的最值主要