2024届高考一轮复习专题：带电粒子在匀强磁场中的运动（一）

一轮专题复习 带电粒子在匀强磁场中运动（一）对称性

一、磁场旋转、电场往返的对称

实例1：如图所示，外电极接地的两共轴的圆筒型金属电极，外筒上均匀分布有平行于轴线的四条狭缝abcd，外筒半径为r。圆筒外的足够大范围内有平行于轴线、强度为B的匀强磁场，在两极间加上电压使两筒间的区域内有沿半径向外的均匀辐向电场，一质量为m、电量为+q的粒子在紧靠内筒处由静止开始从正对狭缝a的S点出发，经过一段运动后恰好又回到了S，求两电极间的电压U满足的条件？（不计粒子重力，整个装置放在真空中）。

解析：粒子在两筒间电场作用下从S点开始加速，沿径向穿出a进入磁场做匀速圆周运动，粒子要再回到S点的条件是：粒子能沿径向穿过狭缝d。只要沿径向穿过了d，粒子就会在电场作用下先减速，再反向加速，经d再重新进入磁场，粒子又以同样方式经过c、b，再经过a回到S。

粒子要沿径向穿过d，则由a到d必须经过个圆周，故轨道半径  如图所示

设加速电压为U   则 

在磁场做匀速圆周运动 

联立求得加速电压 

拓展1：该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是“六条狭缝”，当电压时，粒子经过一段运动后也能回到原出发点。

拓展2：该圆筒上平行于轴线均匀分布的若是“n条狭缝”，当电压时，粒子经过一段运动后也能回到原出发点，并且粒子做匀速圆周运动的半径。

拓展3：若圆筒上只在a处有平行于轴线的狭缝，并且粒子与圆筒外壁发生了次无能量损失和电量损失的碰撞后恰能回到原出发点，则加速电压，并且粒子运动的半径。

实例2：如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求：

（1）中间磁场区域的宽度d；

（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t。

解析：（1）作出粒子运动的轨迹，如图所示，标出所有的圆心、半径。由分析知两个圆的半径相等，很容易看出，粒子在左边磁场中的偏转角度均为60°，在右侧磁场中的偏转角度为300°,则  

在电场中      

联立得

（2）设从o点开始运动到出电场的时间为t1，则     得

在左边磁场中单次运动的时间为t2，则

在右边磁场中运动的总时间为t3，则

故带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用的总时间

实例3：如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E.一质量为m，电量为-q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出射出之后，第三次到达x轴时，它与点O的距离为L.求此粒子射出的速度v和在此过程中运动的总路程s(重力不计).

解析：由粒子在磁场中和电场中受力情况与粒子的速度可以判断粒子从O点开始在磁场中匀速率运动半个圆周后进入电场，做先减速后反向加速的匀变直线运动，再进入磁场，匀速率运动半个圆周后又进入电场，

如此重复下去.

粒子运动路线如图所示，有L=4R  ①

粒子初速度为v，则有 ②，

由①、②可得 ③.

设粒子进入电场做减速运动的最大路程为L，加速度为a,

则有v2=2aL  ④，   qE=ma,   ⑤

粒子运动的总路程s=2R+2L.   ⑥

由①、②、③、④、⑤、⑥式，得。

实例4.如图所示，第一象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场；第四象限内存在沿轴的匀强电场，场强大小为。时刻，粒子从P点以速度v0平行轴射入电场，第1次通过x轴从Q点进入磁场。已知P点坐标为（0，），粒子质量为m、电荷量为+q，重力不计。

（1）求粒子经过Q点的速度v；

（2）欲使粒子不从y轴射出磁场，求磁感应强度的最小值Bm；

（3）若磁感应强度，求粒子第5次通过x轴的位置x和时间t。

解析：（1）粒子从P到Q做类平抛运动，轨迹如图所示，根据动能定理

  解得          根据几何关系      解得  

（2）Q点到O点的距离  

粒子进入磁场做匀速圆周运动，轨道半径为R，根据牛顿第二定律   

欲使粒子不从y轴射出磁场，临近状态如图所示

根据几何关系   解得    解得    

（3）粒子进入磁场做匀速圆周运动，轨迹为圆周，轨道半径  

返回电场后做类斜抛运动，运动轨迹如图所示

第5次通过x轴时     

粒子在电场中的运动时间   

粒子在磁场中的运动时间