专题4.31 图形的位似（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.31 图形的位似（知识梳理与考点分类讲解）

【知识点1】位似多边形的定义

1定义  一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P所在的直线都经过同一点o，且有,那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心,实际上,k就是这两个相似多边形的相似比.

2. 位似与相似的关系  如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形,因此,位似是相似的特殊情况.

特别提醒：

1.两个位似图形的位似中心有且只有一个；

2.位似中心可能位于两个位似图形的同侧也可能位于两个位似图形之间,还可能位于两个位似图形的内部或边上或某一个顶点处.常见位似图形的构成如下图.

【知识点2】位似多边形的性质

1.位似多边形每组对应顶点的连线必过位似中心;

2位似多边形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比;

3位似多边形的对应线段平行(或在一条直线上),且对应线段之比相等;

4.两个多边形位似,则两个多边形必相似,其周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方

【知识点3】位似图形的画法

1确定位似中心(位似中心可以在图形外部,也可以在图形内部,还可以在图形的边上或在某一个顶点处);

2.分别连接位似中心和能代表原图的关键点,并延长;

3.根据相似比,确定所画位似图形的关键点的位置;

4.顺次连接所作各点,得到放大或缩小的图形.

【知识点4】平面直角坐标系中的位似

1.位似变换时的对应点的坐标变化规律

在平面直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0),所对应的图形与原图形位似,位似中心是坐标原点,它们的相似比为k.

2位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别

(1)位似变换、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式,它们的本质区别在于:平移、轴对称、旋转三种图形变换是全等变换,而位似变换是相似变换.

(2)在直角坐标系中,把一个图形进行平移、轴对称旋转和位似变换,其对应点的坐标都有各自的变化规律:

①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离;

②在轴对称变换中,以x轴为对称轴,则对应点的横坐标相等,纵坐标互为相反数;以y轴为对称轴,则纵坐标相等横坐标互为相反数;

③在旋转变换中,一个图形绕原点旋转180°,则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都分别互为相反数;

④在位似变换中,当以原点为位似中心时,变换后与变换前两个图形对应点的横坐标之比的绝对值、纵坐标之比的绝对值都等于相似比.

【考点一】位似图形的识别

【例1】（2022·全国·九年级专题练习）判断满足下列关系的两个三角形是否是位似图形？如果是，请指出位似中心．

（1）如图（1）所示，，相交于点O，且，；

（2）如图（2）所示，，相交于点O，且．

【答案】（1）与不是位似图形；（2）与是位似图形，位似中心是点O．

【分析】（1）根据位似图形对应边互相平行进行判断即可得到答案；

（2）根据位似图形的定义进行判断即可得到答案．

（1）解：，，

点A与点C，点D与点B为对应点，

与不一定平行，

与不是位似图形；

（2）解：，

，

，

，相交于点O，

与是位似图形，位似中心是点O．

【点拨】本题考查了位似图形，解题关键是掌握位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

【举一反三】

【变式1】（2022春·九年级课时练习）如图四个图中，均与相似，且对应点交于一点，则与成位似图形的有（      ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】直接利用位似图形的性质分析判断得出答案．

解：图1中，与成位似图形；

图2中，∵与不平行，与不平行，∴与不成位似图形；

图3中，与成位似图形；

图4中，与成位似图形；

综上，与成位似图形的有图1、图3、图4，共有3个．

故选：C．