专题4.27 相似三角形的性质（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.27 相似三角形的性质（知识梳理与考点分类讲解）

【知识点1】相似三角形对应线段之比

定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。

即：相似三角形对应线段的比等于相似比

特别提醒:

（1）注意“对应”二字，应用时要找准对应线段；

（2）相似比是有顺序的，不能颠倒线段的顺序。

深度理解

对应高、对应中线与对应角平分线分别是指相似三角形对应边上的高、中线与对应内角的平分线。

【知识点2】相似三角形的周长比与面积比

1  相似三角形的周长比：相似三角形的周长比等于相似比；

2  相似三角形的面积比：相似三角形的面积比等于相似比的平方，若,且它们的相似比为k,则

3  相似多边形的面积比：相似多边形的面积比等于相似比的平方

【考点一】利用相似三角形的性质求线段长及角度

【例1】（2023·福建厦门·校联考二模）如图，在正三角形中，是边上任意一点，且．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

 

【答案】（1）证明见分析；（2）

【分析】（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可；

（2）根据，，得出，证明，得出，即，求出，即可得出答案．

解：（1）证明：是等边三角形，

，

又，

，

，

；

（2）解：是等边三角形，，，

，，

由（1）知，

，

即，

，

．

【点拨】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，两个角对应相等的两个三角形相似．

【举一反三】

【变式1】（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图所示，已知，，，，，，求、的长和的度数．

 

【答案】，，

【分析】先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得出，再把已知数据代入进行计算即可．

解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

解得，，

∵，

∴．

【点拨】本题主要考查相似三角形的性质，较为简单，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键．

【变式2】（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在中，，恰好是的角平分线.

（1）求证：△APC∽△DPB；

（2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长.

 

【答案】（1）证明见分析；（2）

【分析】（1）由等腰三角形得，由角平分线得，进而可得 ，证得，结论得证；

（2）由得，构建方程求解．

解：（1）证明：∵

∴

∵平分

∴

∴

∴