2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.3 必修第一册 二次函数与一元二次方程、不等式 宁德五中 王晴 2023.09.25 1 01 温故知新 问题1 请同学们回顾初中所学的一元一次不等式。 说出3x-2>0的解集？ 法一：利用不等式的性质。 法二：利用一次函数的图像。 由3x-2>0，可得3x>2,解得x> 由图可得，x> 01 温故知新 追问1 一元一次方程、一元一次不等式和一元一次函数之间有着什么样的联系呢？ 从函数的观点来看一元一次方程，当函数值为0时就得到一个一元一次方程，那解方程问题就是求“自变量x为何值时，函数值为0”。 从函数的观点来看一元一次不等式，当函数值大于0（或小于0）时就得到一个一元一次不等式，那不等式的解集就是使函数值大于0（或小于0）的自变量x的取值范围。 因此，我们可以利用函数的图像与x轴的交点来判断函数的根的存在性和个数，并利用图像来求解不等式。 追问2 你如何从图像和方程的角度理解“函数值为0”？ 02 一元二次不等式的定义 问题2 一元一次函数、方程、不等式的内在联系有利于我们更好的解决数学问题。那么对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？ 问题3 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉。若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？ 【解析】由题意设这个矩形的两条边长分别为x米和（12-x）米。 则：x（12-x）>20,其中x∈{x|0<x<12}。 整理得：x2-12x+20<0,其中x∈{x|0<x<12}。 02 一元二次不等式的定义 追问1 与一元一次不等式类比，这个不等式有什么特点？ 一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 其中a,b,c均为常数，a≠0。 追问2 根据一元一次不等式的定义，能否给这不等式起个名字？并给出一般形式？ 03 二次函数的零点 问题4 在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法。类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 在函数图象上任取一点A(x,y)，让点A在抛物线上移动，你有什么发现？ 请画出二次函数 y=x2-12x+20的图象。 03 追问1 当点A的纵坐标为0时，如何求点A的横坐标？ 当A点纵坐标为0时， 即函数值y为0， 解方程x2-12x+20=0， 方程的根就是点A的横坐标。 二次函数的零点 03 追问2 一元二次方程x2-12x+20=0的实数根与二次函数y=x2-12x+20有什么关系？ 一元二次方程x2-12x+20=0的两个实数根为2和10， 从函数的角度看，就是图像上纵坐标为0的点的横坐标。 追问3 这个结论可以推广到一般情况吗？ 二次函数的零点 03 零点的定义： 对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点。 疑问1：零点是点吗？ 疑问2：二次函数y=x2-12x+20的零点是多少呢? 二次函数的零点 零点不是点，它代表着当函数值y=0时，所对应的x的值。 当函数值y=0时，有x2-12x+20=0，求得x=2或x=10。所以有该函数的零点为2和10。 疑问3：从函数的角度来看，二次函数的零点与方程和图象有什么联系呢？ 函数的零点 方程的根 函数图象与x轴交点横坐标 04 解一元二次不等式 追问4 二次函数y=x2-12x+20的两个零点将x轴分成三段，每一段（不包括零点）对应的函数图象有什么特点？函数值有什么特点？ x y o 2 10 当2<x＜10时，图象在x轴下方，y<0. 故x2－12x＋20＜0的解集是{x|2＜x＜10}. 故x2－12x＋20>0的解集是{x|x＜2 或x＞10}. 当x＜2 或x＞10时，图象在x轴上方，y>0； 追问5 x2-12x+20<0，x∈{x|0<x<12}，从函数图象上你能确定矩形的边长是多少米吗？ 04 解一元二次不等式 问题3 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)的解集吗？ 对于一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 、一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0) 与相应的函数y=ax2+bx+c(a>0) 之间是否也具有类似的关系？请完成下列表格。 04 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2＋bx＋c的图像 ax2＋bx＋c=0的根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0