上海市松江二中2024届高三上学期阶段测试1数学试题

松江二中2023学年度第一学期阶段测试1

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）

1. “”是“”的________条件.（填“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“非充分非必要”）

2. 已知集合，，则________.

3. 若直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角是______.

4. 已知椭圆C：的离心率为，则椭圆的短轴长为_____.

5. 已知的展开式中各项系数的和为32，则_______.

6. 直线l过点，且与曲线相切于点，若，则实数a的值是______．

7. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是______天（四舍五入精确）（参考数据：）.

8. 甲乙两位游客慕名到南阳旅游，准备分别从武侯祠､南阳府衙､卧龙岗和人民公园4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择武侯祠，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率__________.

9. 设正实数x、y、z满足，则的最大值为____.

10. 已知函数满足，函数，若函数与的图象共有12个交点，记作，则的值为______.

11. 设集合，则集合中满足条件“”的元素个数为_____.

12. 已知向量、不共线，夹角为，且，，，若

，则的最小值为________．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）

13. 若关于x的方程的一个根，则q的值是（     ）

A. 13 B. 26 C. 6 D.

14. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ）

A. 的平均数等于的平均数

B. 的中位数等于的中位数

C. 的标准差不小于的标准差

D. 的极差不大于的极差

15. 在棱长为1的正方体中，为棱上的定点，动点在正方体表面上运动，满足，如果动点的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（    ）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能

16. 对于无穷数列和正整数，若对一切正整数成立，则称具有性质.设无穷数列的前项和为，有两个命题：①若是等比数列且对一切正整数，数列都具有性质，则具有性质；②若是等差数列且存在无数个正整数，使得数列不具有性质，则的公差.那么（    ）

A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题

C. ①､②都是真命题 D. ①､②都是假命题

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17. 如图，在正方体中，分别为的中点.

 

（1）求证：平面；

（2）若正方体的棱长为4，求二面角的正弦值.

18. 已知数列，是其前项的和，且满足.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）记，求的表达式．

19. 在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.

（1）求角；

（2）若为锐角三角形，求的取值范围.

20. 在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点．

（1）求曲线K的方程；

（2）过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若且直线OP与直线交于Q点．求的值；

（3）若点D、E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．

21. 已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求证：；