2.3.1 两条直线的交点坐标 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3 直线的交点坐标与距离公式 在平面几何中，我们对直线作了定性研究. 引人平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等. 2.3.1 两条直线的交点坐标 一、两条直线的交点坐标 已知两条直线 l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0 相交，它们的交点坐标与直线l1、l2的方程有什么关系?你能由此得到求两条相交直线交点坐标的方法吗? 设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0，也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程组 的解. 解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 二、两条直线的位置关系 对于两条直线l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0 ,若方程组 有唯一解，无解，有无数组解，则两直线的位置关系如何？ 两条直线位置关系 唯一解 无解 无数组解 相交 平行 重合 三、典型例题 例1 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形: l1: 3x+4y-2=0， l2: 2x+y+2=0. 三、典型例题 方法归纳 1.求两条直线的交点坐标，就是将两条直线的方程联立所得的方程组的解. 2.在直角坐标系中画直线时，通常找出直线与两条坐标轴的交点，然后连接这两个点. 例2 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点的坐标. (1)l1:x-y=0， l2:3x+3y-10=0； (2)l1:3x-y+4=0， l2:6x-2y-1=0； (3)l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=0. 三、典型例题 例2 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点的坐标. (1)l1:x-y=0， l2:3x+3y-10=0； (2)l1:3x-y+4=0， l2:6x-2y-1=0； (3)l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=0. 你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗?比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会? 三、典型例题 三、典型例题 方法归纳 判断两条直线的位置关系，关键是看将两条直线的方程联立所得的方程组的解的情况. 解题过程中应注意: (1)解方程组的一个重要方法是消元法，即先消去一个变量,将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解，再将所求得的值 代入任意一个方程解出变量的值; (2)若方程组中含有参数，则应对其进行分类讨论; (3)一定要将方程组解的情况还原为直线的位置关系. 例3 求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，且垂直于直 线x+3y－5=0的直线方程. 三、典型例题 三、典型例题 方法归纳 过两条直线交点的直线方程的求法: (1)方程组法: 一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. (2)直线系法: 先设出过两条直线交点的直线方程，再结合条件，利用待定系数法求出待定系数，最后确定直线方程. 常见的直线系： ①与直线l:Ax+By+C=0平行的直线方程为Ax+By十C΄=0(其 中C΄≠C,C΄为待定系数); ②与直线l:Ax+By+C=0垂直的直线方程为Bx-Ay+C΄=0(C΄为 待定系数); ③若直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+ B2y+C2=0相交于点 M(x0,y0)，则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R) 表示过l与l2交点的直线系方程(但不包括直线l2),其中λ 为待定系数.