1.1.2 勾股定理的验证 课件 2023-2024学年北师大版八年级数学上册

第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 第2课时 勾股定理的验证 掌握勾股定理及其验证. 能应用勾股定理解决一些实际问题. 1 2 学习目标 构建情境 还记得我们上节课学习的勾股定理吗？ 构建情境 如果直角三角形两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a2+b2=c2． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 自主探究 请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形. a b c 自主探究 请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形. （1）你能用两种方法表示出正方形的面积吗？ a b c 方法1：S1=ab×4+(b-a)2=b2+a2； 方法2：S2=c2. （2）你能由此得到勾股定理吗？请说明理由. 能.因为两种方法得到的正方形面积相等，即b2+a2=c2. 合作交流 如图是美国总统伽菲尔德于1876 年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它验证勾股定理吗？ 右侧图形有两种表示方法： 方法1：S1=______+______+______， 方法2：S2=(___+___)(___+___)， 由____=____，得____________=___________， 化简，得_________. ab c2 ab a b a b S1 S2 ab+c2+ab (a+b)(a+b) c2=a2+b2 学以致用 例1 我方侦查员小张在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小张计算敌方汽车的速度吗？ 解：由勾股定理，可以得到 AB 2 = BC 2 + AC 2， 也就是 500 2 = BC 2 + 400 2， 所以 BC = 300. 敌方汽车 10 s行驶了 300 m， 那么它 1 h 行驶的距离为 300 × 6 × 60 = 108 000（ m）， 即它行驶的速度为108 km / h. 学以致用 例2 强大的台风使得一根旗杆在离地面3 米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4 米处，旗杆折断之前有多高？ 3m 4m A B C 解：如图，设AC的长度为x米， 根据题意，得AB2+BC2=AC2， 即32+42=AC2， 解得，AC=5（米）， 3+5=8（米）， 所以，旗杆折断之前有8米高. 学以致用 例3 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm， BC＝8cm，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长． A C D B E 解：在直角三角形ABC中， AB2=AC2+BC2=62+82=100， 所以AB=10（cm）. 设CD=xcm， 在直角三角形BDE中， BD2=BE2+DE2， 即(8-x)2=(10-6)2+x2， 解得，x=3. 所以，CD的长为3cm. 综合建模 勾股定理在实际问题中的应用 勾股定理在折叠问题中的应用 将实际问题抽象为数学模型，画出对应的几何图形，正确运用勾股定理求解. 原图形和折叠后得到的图形之间，对应角和对应线段相等，根据这一性质综合运用勾股定理进行相关问题的解决. 当堂检测 1．在△ABC 中，∠C=90°， （1）若a=5，b=12，则c=_____； （2）若a=6，c=10，则b=_____； （3）若a∶b=3∶4，c=10，则a=_____，b=_____. 2．直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为_____cm. 13 8 6 8 当堂检测 3. 一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，则断痕离树底多高？ A B C 解：如图，设断痕离树底xm， 则AB=xm，BC=3m，AC=(9-x)m， 由勾股定理，得AB2+BC2=AC2， 即x2+32=(9-x)2， 解得，x=4， 所以，断痕离树底4m. 4. 一个25m 长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底端与墙根的距离为24m，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m，那么梯子底端B 也外移4m 吗？ 当堂检测 解：如图所示，∵AB=25m，BC=24m， ∴AC2=AB2-BC2=252-242=49， ∴AC=7m，∴A′C=7-4=3m， ∴B′C2=A′B′2-A′C2=252-32=616， 假设梯子底端B也外移4m， 则B′C2=(24+4)2=784，与结果不一致， 所以梯子底端B没有外移4m. A B C A′ B′ 当堂检测 5. 某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m 的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m，1m，0.8