北京市2022-2023学年上学期高三期末数学试题汇编-03曲线与方程、椭圆

北京市2022-2023学年上学期高三期末数学试题汇编-03曲线与方程、椭圆

 

一、单选题

1．（2023秋·北京通州·高三统考期末）设点是曲线上任意一点，则点到原点距离的最大值、最小值分别为（    ）

A．最大值，最小值 B．最大值，最小值1

C．最大值2，最小值 D．最大值2，最小值1

2．（2023秋·北京·高三校考期末）正方体棱长为，是棱的中点， 是正方形及其内部的点构成的集合．设集合，则集合表示的区域面积是（    ）

A． B．

C． D．

3．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，点M为底面上的动点，M到的距离记为d，若，则点M在底面正方形内的轨迹的长度为（    ）

A．2 B． C． D．

4．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2，则

（    ）

A． B．

C． D．

 

二、填空题

5．（2023秋·北京·高三校考期末）曲线上存在四个点满足四边形是正方形，则实数的取值范围是        ．

6．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）如图，在棱长为a的正方体中，P，Q分别为的中点，点T在正方体的表面上运动，满足．

给出下列四个结论：

①点T可以是棱的中点；

②线段长度的最小值为；

③点T的轨迹是矩形；

④点T的轨迹围成的多边形的面积为．

其中所有正确结论的序号是          ．

 

三、解答题

7．（2023秋·北京·高三校考期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是．

(1)求椭圆的方程；

(2)设为原点，A为椭圆的左顶点，是椭圆上不同于点A的两点，且直线的斜率之积等于．求与的面积比值．

8．（2023·北京顺义·高三统考期末）已知椭圆经过点，离心率为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．若以为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积是定值．

9．（2023秋·北京通州·高三统考期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设是椭圆上不同于的一点，直线，与直线分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

10．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）已知椭圆的右顶点，P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是坐标原点，面积的最大值为1．

(1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)过点的直线与椭圆C交于另一点Q，直线分别与y轴相交于点E，F．当时，求直线的方程．

11．（2023秋·北京东城·高三统考期末）已知椭圆：（）的离心率为，长轴长与短轴长的和为6，，分别为椭圆的左、右焦点.

(1)求椭圆的方程；

(2)设为椭圆上一点，.若，，成等差数列，求实数的范围.

12．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）已知椭圆过点和