14.1.1 直角三角形三边的关系 教学设计 2023—2024学年华东师大版数学八年级上册

14．1．1 直角三角形三边的关系 一、教学内容分析 1、内容 勾股定理的探究、证明及其简单运用. 2、内容解析 勾股定理是图形与几何中的最重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是以后解直角三角形的重要依据，它在现实生活中也有着广泛的应用. 教材在设计探究勾股定理过程中，先是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探究过程.利用了割、补、拼图等计算面积的方法进行探索和证明,蕴含着丰富的数学思想方法，是数形结合的优美典范. 基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为勾股定理的探究和证明,教学难点为利用割、补、拼图等计算面积的方法来探索和证明勾股定理. 二、教学目标分析 1、目标 （1）体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理； （2）会运用勾股定理进行简单的计算. 2、目标解析 达成目标（1）的标志是：学生会运用割、补、拼图等计算面积的方法进行探索和证明勾股定理,理解勾股定理的作用是直角三角形中已知两边求第三边,知道应用勾股定理的条件必须是在直角三角形中. 达成目标（2）的标志是：学生能根据直角三角形中已知两边求出第三边,在运用勾股定理时能分清楚哪边是斜边,会对公式进行正确的变形;会构建直角三角形模型,从而用勾股定理来解决一些简单的实际问题. 三、教学问题论断分析 本节课中，学生理解勾股定理的内容以及利用结论进行有关计算的难度不大,但个别学生容易忽略勾股定理的条件,部分学生因分不清楚哪边是斜边而导致计算出错.本节课的教学难点为运用割、补、拼图等计算面积的方法来探索和证明勾股定理,突破教学难点的关键是给予学生充足的时间与空间，充分展示“分割、补全、拼凑”等过程,与正方形的面积联系起来，通过比较得出勾股定理. 四、教学过程设计 1、创设情境，引出新知 （1）介绍毕达哥拉斯发现勾股定理的故事,导入本节中的引言： 如图是正方形地砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形： ①正方形P、Q、R的面积有什么关系？ ②Rt△ＡＢＣ三边有什么关系？ 师生活动：教师用故事导入问题，学生思考得出： 两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积，即，这说明在等腰直角三角形中，两直角边的平方等于斜边的平方. 设计意图：用故事导入问题,激发学生的兴趣,从特殊的等腰直角三角形入手,让同学们体验由特殊到一般的探究过程，引出对勾股定理的探究. 追问1 在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否也等于斜边的平方呢？ （2）本节中的试一试： ①正方形P的面积＝ 平方厘米； 正方形Q的面积＝ 平方厘米； 正方形R的面积＝ 平方厘米． ②正方形P、 Q、 R的面积之间的关系是 ． ③直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系： ． 师生活动：教师出示问题,学生思考、交流，对于求以斜边为边长的大正方形R的面积是一个难点，要充分展示“分割、补全”的过程,学生理解并得出结论. 设计意图：借助网格,用数形结合的思想探究一般三角形的三边关系. （3）画出两条直角边分别为５cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边，并验证刚才得到的直角三角形三边的关系是否成立. 师生活动：学生按要求准确画出图形,完成验证过程,总结得出勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 设计意图：学生动手画一画，量一量，确定猜想成立，得出勾股定理. （4）我国古代数学家赵爽对勾股定理进行了严谨的论证.下面我们一起进行证明:用四个全等的直角三角形不重叠地拼成一个大正方形. ①你能用两种不同的方法表示图中最大正方形 的面积吗？ ②由此你能得到什么样的等式？ ③你如何理解等式化简后的结果？ 师生活动：学生独立思考、合作交流，师适时点拨,共同完成证明过程，并介绍勾股定理的其它证明方法，展示钝角三角形和锐角三角形不满足这个关系式. 设计意图：用赵爽弦图证明，让学生感受数学文化，学会用面积法证明勾股定理，加深对勾股定理的理解.介绍勾股定理的证明方法有五百余种之多，让学生体会一题多解，拓展思路，启发学习数学的兴趣.展示钝角三角形和锐角三角形不满足这个关系式，再次加深对勾股定理的理解. 2、巩固训练，熟能生巧 例1 在Rt△ＡＢＣ中，ＡＢ＝c,ＢＣ＝a, AC＝b,∠C＝90°． ①已知a＝6，b＝8，则c= ； ②已知a＝5，c＝6，则b= ． 师生活动：生思考、计算、交流，师点拨对公式的变形. 设计意图：本例题是勾股定理的直接运用,目的是让学生明白勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求第三边；引导学生对公式能进行正确