12.3.1 两数和乘以这两数的差 教案 2023-2024学年华东师大版八年级数学上册

12．3 两数和乘以这两数的差 一、教学内容分析 1、内容 运用平方差公式进行多项式的乘法运算. 2、内容解析 “平方差公式”是“乘法公式”的第一个公式，它在代数运算和恒等变形中有广泛地应用.在探究平方差公式的活动中，先让学生用多项式乘以多项式的法则进行计算,发现有特殊形式的多项式相乘，运算结果特别简单，从而诱发学生从中总结出这种特殊的多项式相乘的特征，初步感受平方差公式.再通过数形结合验证平方差公式的合理性，归纳得到公式并用文字、符号表示，明确其结构特征.通过之后的练习,感受这一公式给一些特殊形式的整式乘法带来的方便.让学生体会研究“公式问题”的“基本套路”，为学生学习掌握完全平方公式等数学公式积累数学活动经验，又为学生感悟和体验“归纳、转化、数形结合“等数学思想方法搭建了一个不可多得的平台． 基于以上分析，可以确定本节课的教学重点：掌握平方差公式的结构特征，能熟练地运用平方差公式进行多项式的乘法运算. 二、教学目标分析 1、目标 （1）能推导平方差公式,掌握公式的结构特征； （2）能熟练运用平方差公式进行多项式的乘法运算． 2、目标解析 达成目标（1）的标志是：学生通过计算特殊的多项式乘以多项式, 发现运算结果特别简单，自行得到平方差公式, 再通过数形结合验证平方差公式的合理性，归纳得出公式并用文字、符号表示.能明确公式的结构特征:它的左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数,右边是这两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）.知道公式中的a和b可以表示数,也可以表示单项式或多项式. 达成目标（2）的标志是：学生不仅能直接运用平方差公式计算,还能通过交换括号内各项的位置等变形后再运用公式计算,会准确判断哪些算式符合平方差公式特征,哪些不符合公式特征.能归纳出平方差公式的运用技巧：括号内的这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数才能运用平方差公式,结果等于符号相同的项的平方减去符号相反的项的平方,会运用这个技巧解决有关的计算题. 三、教学问题论断分析 学生已学习了多项式的乘法，易于推导出平方差公式, 但辨析公式,理解公式结构特征就成为本节课的教学难点.教学中,要让学生明确公式的左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数,右边是这两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）.理解公式中字母表示的广泛含义:a和b可以表示数,也可以表示单项式或多项式,这样学生才能灵活运用公式.在运用平方差公式时学生常见的错误有:①符号错误,如（-2x-y）（2x-y）=4x2-y2 ;②系数不平方,如（1+2c）（1-2c）=1-2c2 ;③滥用或误用公式,如（a+0.5b）（b-0.5 a）=a2-0.25b2，出错的原因是学生只了解公式（a+b）（a-b）=a2-b2的表面形式，而未真正掌握平方差公式的本质特征． 四、教学过程设计 1、创设情境，引出新知 （1）回顾多项式与多项式相乘的法则: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn. （2）计算:①（x ＋ 2)( x－2）; ②（2x+1）（2x-1）; ③(4－3y)(4 ＋ 3y）; ④( －3x+2y)(-3x-2y）. 师生活动：教师提问，学生用文字语言和符号语言表述出多项式与多项式相乘的法则后,再进行计算. 设计意图：从学生已有的多项式乘法的经验入手，引出对平方差公式的探究. 追问1：左边的两个因式有什么特点？右边的积有什么特点？能不能用字母表示你的发现？你能用语言叙述这个规律吗? 师生活动：学生观察因式与积的特点、挖掘共性，发现规律: （a+b）（a-b）= a2-b2，即：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． 设计意图：让学生经历从具体到抽象的过程，体会归纳这一数学思想方法． 追问2：你能通过计算（a+b）（a-b），说明猜想的合理性吗？ 师生活动：师提问后学生计算:（a+b）（a-b）=a2-ab+ ab-b2 =a2-b2 .      设计意图：通过多项式乘法法则验证猜想，让感知得到理性的检验，体现数学思维的严谨，让合情推理与演绎推理完美并进. 追问3: 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙的位置,你能根据两个图形的面积关系说明平方差公式吗? S甲= , S乙= , 验证公式: . 师生活动: 学生思考、交流，得出S甲=（a+b）（a-b）, S乙= a2-b2 ,从而验证平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2. 设计意图：让学生用不同代数式表示阴影部分的面积，再次验证平方差公式，体会公式的合理性和数形结合的思想. 追问4:你能说出公式的结构特征