2.2基本不等式(第一课时) 2023-2024学年高一数学同步课件(人教A版2019必修第一册)

2.2 基本不等式 第 一课时 第二章 一元二次函数、方程和不等式 一 二 三 学习目标 掌握基本不等式，了解基本不等式的证明过程 理解基本不等式的取最值成立条件 （一正二定三相等） 利用基本不等式解决简单的最值问题 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b　a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c _______ 3 可加性 a>b⇔a＋c　b＋c ____ 4 可乘性 a>b，c>0⇒_______ a>b，c<0⇒_______ c的 符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒______________ 同向可加 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒________ 正值同向可乘 7 可乘方性 a>b>0⇒an　bn(n∈N，n≥2) 正值同向可乘方 < 不可逆 > 可逆 ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd > 复习回顾 不等式的基本性质 3 新课导入 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用？ 例如，前面我们利用面积法和完全平方公式得出了一类重要不等式： 一般地，∀ a，b∈R，有 当且仅当时，等号成立. 这节课我们就利用这个重要不等式继续研究一个特别的不等式——基本不等式。 新知探究 一般地，∀ a，b∈R，有 当且仅当时，等号成立. 重要不等式： 问题1 特别地，如果，我们用分别代替上式中的，可以得怎样的式子？ 概念生成 基本不等式 如果则称不等式 为基本不等式。 当且仅当时，等号成立. (均值不等式) 正数的算术平均数 正数的几何平均数 代数解释： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 a=b a=b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈R a>0,b>0 注意从不同角度认识基本不等式 归纳小结 重要不等式与基本不等式的比较： 问题2 能否直接利用不等式的性质证明基本不等式呢？ 新知探究 当然，我们可以用做差比较法证明基本不等式。 谁来试试？ 证明：(比较法) 新知探究 要证 只要证 ( ) ≤ a+b 要证②，只要证 ( ) -a- b≤ 0 要证③，只要证 -（ - )2≤ 0 要证④，只要证 （ － )2≥ 0 ① ② ③ ④ ⑤ 显然,⑤是成立的, 证明: 当且仅当a=b时，⑤中的等号成立 分析法(执果索因) 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了。 新知探究 问题3 如图示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD. 你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 半径 半弦 半弦长不大于半径。 几何解释： 典例解析 例1.1 已知，求 的最小值. 问2：本题的代数式有什么结构特点？是否可以利用基本不等式求最小值？ 如果能，如何求？ 问1： 典例解析 例1.1 已知，求 的最小值. 问4：满足什么结构特点的代数式才能够利用基本不等式求最小值？ 问3：当y0<2时，这时能说 的最小值吗？ 利用基本不等式求最值的条件： 一正、二定、三相等。 一正 二定 三相等 若x、y皆为正数， 则当积xy的值是定值P时，当且仅当x=y时， 和x+y有最小值_______. 结论1 利用基本不等式求最值的条件： 一正、二定、三相等。 归纳小结 证明：因为x，y都是正数，所以. 当积xy等于定值P时，，所以. 当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值. 积一定和最小 典例解析 例1.2 若 ，且 ， 都是正数，则 的最大值是( ) A. 400 B. 100 C. 40 D. 20 解： A 若x、y皆为正数， 则当和x+y的值是定值时，当且仅当x=y时 积xy有最大值_______. 结论2 当和等于定值S 时，，所以， 当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积xy有最大值. 证明 和一定积最大 巩固练习 课本P46 巩固练习 课本P46 巩固练习 课本P46 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1、重要不等式与基本不等式的内容： 2、基本不等式的应用条件： 一正、二定、三相等 3、基本不等式的应用： 求最值 $$