2.1.1倾斜角与斜率课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线 2.1.1 倾斜角与斜率 复习引入 我们知道,点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中,可以用坐标表示点,那么,如何用坐标表示直线呢? 为了用代数方法研究直线的有关问题,本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素,然后用代数方法把这些几何要素表示出来. 问题1:确定一条直线的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线,如何利用坐标系确定它的位置? 两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线 思考 如何表示直线的方向? 其他直线向上的方向为这条直线的方向. 在平面直角坐标系中,规定水平直线的方向向右 在平面直角坐标系中,经过一点可以作无数条直线,它们组成一个直线束(如图),这些直线的区别是什么? 当直线与轴相交时,以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 当直线与轴平行或重合时,规定它的倾斜角为. 问题2 当直线与轴平行或重合时,它的倾斜角大小为多少? 直线的倾斜角的取值范围是什么? 直线的倾斜角的取值范围为 每一条直线都有一个确定的倾斜角 直线 倾斜角 可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度,也就表示了直线的方向. 方向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不相等. 方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等; 练习 例1.设直线过原点,其倾斜角为,将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转,得到直线,则直线的倾斜角为( ). A. B. C. D.或 答案:D. 解:由倾斜角的取值范围知,只有当 ,即时,的倾斜角才是.而,所以当时,的倾斜角为(如图). 练习 方法技巧: 求直线倾斜角的方法及关注点 定义法:根据题意画出图形,结合倾斜角的定义找倾斜角. 关注点:结合图形求角时,应注意平面几何知识的应用,如三角形内角和定理及其有关推论. 练习(1)若直线经过第二、四象限,则直线的倾斜角的取值范围是( ). A. B. C. D. 解:直线倾斜角的取值范围是,又直线经过第二、四象限,所以直线的倾斜角的取值范围是. (2)求图中各直线的倾斜角. C 60° 135° 150° 设,(其中)是直线上的两点.由两点确定一条直线可知,直线由点,唯一确定. 问题3 直线的倾斜角与 , 两点的坐标有什么内在联系? 当向量的方向向上时,且直线的倾斜角也是,由正切函数的定义,有 当向量的方向向上时,,也有 思考:当直线与轴平行或重合时,上述式子还成立吗?为什么? 思考:当时,上述式子还成立吗?为什么? 此时上述式子无意义且倾斜角为 直线的倾斜角与直线上的两点,的坐标有如下关系:.① 把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率常用小写字母表示,即.② 倾斜角是的直线没有斜率 倾斜角不是的直线都有斜率. 由正切函数的单调性,倾斜角不同的直线,其斜率也不同 可以用斜率表示倾斜角不等于的直线相对于轴的倾斜程度,进而表示直线的方向 如果直线经过两点, ,那么由①②可得如下的斜率公式:. 思考:(1)已知直线上的两点,,运用上述公式计算直线的斜率时,与,两点的顺序有关吗? (2)当直线平行于轴,或与轴重合时,上述公式还适用吗?为什么? P50[例3] 求经过下列两点的直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角. (1)(1,1),(2,4); (2)(-3,5),(0,2); (3)(2,3),(2,5); (4)(3,-2),(6,-2). 解:(3)由x1=x2=2知,k不存在,倾斜角是90°. 一种是已知倾斜角求直线的斜率,注意倾斜角为的情况; 另一种是已知两点的坐标求直线的斜率,注意斜率不存在的情况. 求直线斜率的两种类型 当α∈[00, 900)时, k随α增大而增大, 且k≥0; 当α∈(900, 1800)时, k随α增大而增大,且k<0; 时,斜率不存在 4.已知直线的倾斜角的取值范围是则直线的斜率的取值范围是 . P52 问题4 直线的方向向量与斜率有什么关系? 若直线的斜率为,它的一个方向向量的坐标为,则. 当,向量也是直线的方向向量,它的坐标为,即,其中是直线的斜率. 直线的方向向量的坐标为. 问题4 直线的方向向量与斜率有什么关系? 当,直线与轴垂直,可以取其中一个方向向量为. 直线的方向向量的坐标为. 倾斜角 斜率 两点 方向向量 √ P49 [例4] 已知点A(-2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是( ) √ P51 √ [例5] 分别判断下列三点是否在同一条直线上. (1)(0,2),(2,5),(3,7); (2)(-1,4),(2,1),(-2,5); (3)(1,2),(1,3),(1,-1). 解:(3)因为三点的横坐标均为1,所以三点均在直线x=1上,从而三点共线. 判断三点共线的方法 对于