2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(10种题型)辅导讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 1、一元二次不等式： 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是或。其中均为常数，。 2、函数的零点与方程的解：P142 对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点，于是，二次函数的两个零点是。 与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点。 这样，函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标。 3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系： 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 或 4、一元二次不等式恒成立问题： ①转化为一元二次不等式解集为的情况： 恒成立且。 恒成立且。 ②分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题。 5、一元二次不等式的解法： ①对不等式进行变形，使不等式一端为零且二次项系数大于零，即标准形式（或或或），。 ②计算相应方程的根的判别式。 ③当时，求出相应的一元二次方程两根。 ④根据一元二次不等式解的结构，写出解集：当时，设方程的两根分别为，且，利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集，也就是说（）的解集是或，即大于大根或小于小根，（）的解集为，即大于小根且小于大根。 6、穿针引线法（数轴标根法、零点分段法）： 用穿根引线法解一元高次不等式非常方便，因此应熟练掌握。其解题步骤如下： ①分解因式，将不等式化为一端为0，另一端为若干个因式（一次因式或二次不可约因式）乘积的形式（各因式中最高次数的项的系数符号化为“”）。 ②求出相应方程的根，并在数轴上表示出来。 ③由数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即某个因式是奇数次，就从数轴的一侧穿到数轴的另一侧；某个因式是偶数次时，则不穿过数轴），简称“奇过偶不过”。容 ④若不等式（最高次数的项的符号化为“”后）“”，则找“线”在数轴上方对应的的取值范围；若不等式“”，则找“线”在数轴下方对应的的取值范围。 7、简单的分式不等式的解法： ；。 且；且。 8、简单的绝对值不等式的解法： ；或。 【题型1】一元二次方程 1．（2023春•龙湾区期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝7 2．（2022秋•文山市期末）方程（x+1）（x﹣3）＝0的解是（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3 3．（2023•红花岗区三模）一元二次方程x2+5x+6＝0的根是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝﹣3 B．x1＝2，x2＝3 C．x1＝﹣6，x2＝1 D．x1＝6，x2＝﹣1 4．（2022秋•迁安市期末）关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 5．（2022秋•惠阳区校级期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两个根，则x1x2的值是（　　） A．1 B．6 C．﹣1 D．﹣6 6．（2023•沙坪坝区校级开学）已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（　　） A． B． C． D． 【题型2】二次函数图像 1．（2022秋•海口月考）如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象为（　　） A． B． C． D． 2．（2022•秦州区校级开学）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 3．（2022秋•阜南县校级月考）y＝2x+b和y＝2x2+bx+c在同一直角坐标系内的图象可以是（　　） A． B． C． D． 4．（2023•常熟市开学）一次函数y＝ax﹣b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．（2022秋•南海区校级月考）一次函数y＝ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【题型3】二次函数最值问题 1．函数f（x）＝﹣x2+4x﹣3的最大值为（　　） A．f（1）＝1 B．f（2）＝