2.2 基本不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 1 重点 难点 1.了解并掌握基本不等式以及基本不等式的证明过程。 2.会用基本不等式证明不等式,以及求简单的最值问题 学习目标 复习导入 重要不等式:一般地, 当且仅当a=b时,等号成立 特别地,如果a>0,b>0,我们用,,可得 当且仅当a=b时,等号成立 当通常把上式称为基本不等式 说明:两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数 复习导入 当且仅当a=b时,等号成立 说明:两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数 算数平均数 几何平均数 如果a>0,b>0,我们用 分别代替a,b,可得到什么结论? 即: 即: 替换后得到: (a>0,b>0) 基本不等式 定义:特别地,若a>0,b>0,则 , 基本不等式 当且仅当a=b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式. 算术平均数 几何平均数 文字叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. a2+b2≥2ab 适用 范围 a,b∈R a>0,b>0 文字 叙述 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值 “=”成立 的条件 a=b a=b 注意从不同角度认识基本不等式 填表比较: 问题 我们该如何证明基本不等式:? (大家可以回忆上节课是如何比较两个实数大小) 作差法 性质法 当且仅当a=b时,等号成立. 8 当且仅当a=b时,等号成立. 性质法 数学证明的思想方法:综合法 体现:要证、即证 (通俗叫法:逆推法) 9 基本不等式的证明 (利用几何意义证明) 如图,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD。你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗? 基本不等式的前提条件 在问题“已知x>0,求 x + 的最小值”的解决过程中不难发现:最小值是一个常数2,并且只能在x=1时取到. 换一句话说:如果x<0,或x>2等等,x + 的最小值就不是2或者不存在. 由此我们归纳,依a+b≥2 求两个数和或积的最值, 必须要满足条件:(1) ; (2) ; (3) . 1.已知x,y都是正数,求证: (1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2; (2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2. 方 法 总结 核心素养 之 逻辑推理 + 数学建模 问 题 分 析 提示:因为x,y都是正数,所以x+y ≥2. 无论是“和”定还是“积”定,不等号的另一侧部分将会取得最 值,且都在x=y时取得等号. 基本不等式从一侧到另一侧,本质上是一种放大或缩小;当一侧为定值时,即为另一侧的一最值;当然,要满足取等的条件. 2.已知a,b都是正数,求证: (1) ≤; (2)≤. 方 法 总结 核心素养 之 逻辑推理 + 数学运算 问 题 分 析 提示:(1) ≥2 (2) )2=≤. 不等式证明过程中,可以先局部使用基本不等式放缩,再整体观察化归; 也可以先两边平方或开方,再用基本不等式. 3.某企业要建造一个容积为18cm3,深为2m的长方体形无盖贮水池,如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元,怎样设计该水池可使得总造价最低?最低总造价为多少? 方 法 总结 核心素养 之 数学抽象 + 数学建模 问 题 分 析 设贮水池池底长和宽分别为xm,ym,水池总造价为z元,则由容积为18m3, 可得2xy=18, 因此xy=9, z=200×9+150(2×2x+2×2y)=1800+600(x+y) ≥1800+600×2=5400 当x=y=3时,等号成立. 目标函数中出现两个正变量的和,则依据基本不等式可得其最小值,最后要确认取等条件成立. 例1.(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少? 解:设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为 (1)由已知得 由,可得 ∴ 当且仅当时,上式等号成立. 因此,当这个矩形菜园是边长为的正方形时,所用篱笆最短,最短篱笆的长度为 例析 (2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少? 解:(2)由已知得矩形菜园的面积为 由 可得 当且仅当时,上式等号成立. 因此,当这个矩形菜园是边长为的正方形时,菜园面积最大,最大面积是. 例析 例2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 解:设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元. 根据题意,有 由容积为,可得 ∴ 当时,上式等号成立,此时 所以,将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低,最低总造价是297600元