2.2 基本不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 1 教学目标 1. 结合实例,从情境中抽象、归纳出算术平均数和几何平均数的概念,从特殊到一般猜想、发现基本不等式. 2. 通过对基本不等式几何意义的探究,感受数学文化之美,体会数形结合的魅力. 3. 探索基本不等式的证明过程,学会用作差法、综合法、分析法证明基本不等式. 2 学习目标 课程目标 学科核心素养 理解、掌握基本不等式的内容和结构 通过由完全平方公式到基本不等式的过程,培养逻辑推理素养 能够利用不等式的性质证明基本不等式,初步理解分析法的证明方法 借助基本不等式的证明过程,培养逻辑推理、数学运算素养 3 在不等关系与不等式一节,我们由赵爽弦图(如下左图)抽象出了一类重要不等式: a2+b2≥2ab ① 不难发现,公式①中,a、b∈R, 当且仅当a=b时等号成立. a2+b2≥2ab (a、b ∈R,当a=b时取等号) ① a×a+b×b a×b+b×a ≥ 二次式 二次式 自乘的和 互乘的和 不小于 如果把两个数相乘看成一次合作“圈地”(如图),那么公式 ①折射出生活的哲理: 自立自强比互相合作更重要! 重要不等式 a a b b 特别地: a2+b2≥2ab (a、b ∈R,当a=b时取等号) ① 重要不等式 当b=1时,有a2+1≥2a(a∈R) (降次功能) 当b=时,有a2+≥2(a≠0) (消元功能) 求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca (a、b、c ∈R) 练一练 提示:a2+b2≥2ab b2+c2≥2bc c2+a2≥2ca 我们再次回忆一下重要不等式: 设a,b是任意实数,则a2+b2≥2ab 当且仅当a=b时,等号成立. 请大家猜想一下,我们会得到怎样的式子? 如果我们用分别代替上式中的, 得当且仅当时,等号成立。 8 如果我们用分别代替上式中的,可得 当且仅当时,等号成立。这样的式子为基本不等式 基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 叫做正数的算术平均数 叫做正数 的几何平均数 9 【证法一】当时,, , ,所以 由重要不等式可得: 【证法二】当然我们也可以利用分析法: 把这个过程倒过来,就是证明的过程. 只要证; 只要证; 只要证. 要证,去分母并调换方向, 而此式显然成立. 当且仅当时,等号成立. . 所以 所以 所以 综合法 基本不等式 基本不等式的证明 用圆的性质证明 B C A D E a b O AB为圆O的直径。用,b表示线段AC,BC OD=_ CD=_ OD_CD ≥ “半径不小于半弦” 例1 已知求的最小值. 解:∵∴ 当且仅当即时,等号成立,因此所求的最小值为2. 在本题的解答中,我们不仅明确了有而且给出了“当且仅当即时,等号成立”,这是为了说明2是的一个取值.想一想,当时,成立吗?这时能说是的最小值吗? 例2 已知都是正数,求证: (1)如果积等于定值,那么当时,和有最小值; (2)如果和等于定值,那么当时,积有最大值 证明:∵都是正数,∴ (1)当积等于定值时,∴当且仅当时,上式等号成立. 于是,当时,和有最小值. 积定和最小 例2 已知都是正数,求证: (1)如果积等于定值,那么当时,和有最小值; (2)如果和等于定值,那么当时,积有最大值 证明:∵都是正数,∴ (2)当和等于定值时, ∴ 当且仅当上式等号成立. 于是,当时,积有最大值 和定积最大 【例】已知都是正数,求证: (1)如果等于定值P,那么当时,有最小值 【证明】所以 (1)等于定值P时, ,所以 当且仅当时,上式等号成立,此时有最小值 (2)如果等于定值S,那么当时,有最大值 (2)时, ,两边平方,所以 ,当且仅当时,上式等号成立,此时有最大值 最值定理及其应用 ①当时,,, 当且仅当时,等号成立. ②当时,, 当且仅当时,等号成立. 最值定理及其应用 × √ 【即时练习】 1.已知,求证. 2.已知都是正数,且,求证: (1). (2). 3.当x取什么值时,取得最小值?最小值是多少? 4.已知,求的最大值. 5.已知直角三角形的面积等于50,当两条直角边的长度各位多少时,两条直角边的和最小?最小值是多少? 【巩固提升】 当堂检测 课堂小结 一、本节课学习的新知识 重要不等式 基本不等式 谢谢 再 见 (直接利用基本不等式求最值) (1)当x>0时,求eq \f(12,x)+4x的最小值; (2)当x<0时,求eq \f(12,x)+4x的最大值; (3)已知4x+eq \f(a,x)(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,求a的值. $$