第22练 空间距离的向量求法【大题满分分层训练】-2024年一轮复习之立体几何篇

第22练 空间距离的向量求法 【基础练】 1．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.    (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面夹角大小； (3)若在线段上存在点，使得平面，求点到平面的距离. 2．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，多面体中，是平行四边形，⊥平面，⊥，，，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)若点到平面的距离为，求线段的长. 3．（2023·全国·高二专题练习）在直角梯形中，，，，现将沿着对角线折起，使点D到达点P位置，此时二面角为．    (1)求异面直线，所成角的余弦值； (2)求点A到平面的距离． 4．（2023·全国·高二专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点. (1)求证：平面⊥平面； (2)若二面角为，求点到平面的距离. 5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，点分别是的中点，点为棱上一点，且直线和所成的角为． (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离． 6．（2023秋·高一单元测试）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为60°，，，，，． (1)求证：； (2)求直线DE与平面AEF所成角的正弦值． (3)直接写出的值，使得，且三棱锥的体积为． 7．（2023·天津河西·天津实验中学校考模拟预测）如图，平面ABCD，，，，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点. (1)求证：平面CPM； (2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小； (3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求N到平面CPM的距离. 8．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的六面体中，平面平面，，，． (1)求证：平面； (2)若AC，BC，两两互相垂直，，，求点A到平面的距离． 9．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 10．（2023·北京海淀·一模）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ACC1是边长为4的正方形，，点D为BB1中点．再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答． (1)求证：AB⊥平面A1ACC1； (2)求直线BB1与平面A1CD所成角的正弦值； (3)求点B到平面A1CD的距离． 条件①：；  条件②：；  条件③：平面ABC⊥平面A1ACC1． 【提升练】 11．（2023春·上海·高二专题练习）如图，多面体是由棱长为3的正方体沿平面截去一角所得到，在棱上取一点E，过点，C，E的平面交棱于点F． (1)求证：； (2)若，求点E到平面的距离以及与平面所成角的大小． 12．（2023·辽宁大连·大连八中校考三模）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，，. (1)求点到平面的距离； (2)是线段的中点，求与平面所成角正弦值. 13．（2023·上海松江·校考模拟预测）已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，. (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离. 14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在几何体中，菱形所在的平面与矩形所在的平面互相垂直． (1)若为线段上的一个动点，证明：∥平面 (2)若，，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 15．（2023秋·江西宜春·高二江西省丰城中学校考开学考试）在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.      (1)证明：平面平面； (2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 16．（2023·北京·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点. (1)证明：； (2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值及点A到平面BPC的距离. ①；②. 17．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若E为棱BC的中点，求三棱锥的体积． 18．（2023春·江苏南通·高二统考期中）如图多面体中，四边形是菱形，平面，. (1)证明：平面； (2)在棱上有一点（不包括端点），使得平面与平面的夹角余弦值为，求点到平面的距离. 【能力练】 19．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面ABCD，，，E是PD的中点．    (1)证明：平面PAB； (2)点M在棱PC上，且直线BM与底面AB