第21练 面面角向量求法及其他应用【大题满分分层训练】-2024年一轮复习之立体几何篇

第21练 面面角向量求法及其他应用 【基础练】 1．（2023秋·高二单元测试）在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，平面底面，. (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 2．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，且，，且，且，平面，． (1)求平面与平面的夹角； (2)求直线到平面的距离． 3．（2023春·浙江宁波·高二统考期末）在图1中，四边形为梯形，，，，，过点A作，交于．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列两问： (1)求四棱锥的体积； (2)若F在侧棱上，，求证：二面角为直二面角． 4．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，分别上的点且，，将沿折起到的位置，使． (1)求证：； (2)是否在射线上存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 5．（2023·北京·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，，．点E是棱PA的中点，连接OE，OP． (1)求证：平面PCD； (2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长． 条件①：平面平面； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 6．（2023·全国·高二专题练习）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的中点，. (1)证明：平面平面. (2)若，且二面角的大小为，求四棱锥的体积. 7．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，点在棱上，设. (1)证明：. (2)设二面角的平面角为，且，求的值. 8．（2023·全国·高二假期作业）如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.    (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 9．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，D为的中点，点E在棱上，且，点P为线段上的动点． (1)求证：； (2)若直线与所成角的余弦值为，求平面和平面的夹角的余弦值． 10．（2023春·广东深圳·高二校考期中）如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【提升练】 11．（2023秋·河南商丘·高二宁陵县高级中学校考开学考试）在三棱柱中，，，. (1)证明:； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值. 12．（2023秋·新疆·高二校考期末）如图，在四棱锥中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，ABDC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点. (1)证明：平面EAC⊥平面PBC； (2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角P-AC-E的余弦值. 13．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 14．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，侧面底面是边长为2的正三角形，分别是的中点，记平面与平面的交线. (1)证明：直线平面. (2)若在直线上且为锐角，当时，求二面角的余弦值. 15．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）如图（1），在中，，将沿折起，使得点到达点处，如图（2）. (1)若，求证：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 16．（2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，，O为AC的中点． (1)证明：⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且二面角为，求的值． 17．（2023·海南·海南华侨中学校考模拟预测）如图，四棱锥中，底面为矩形且垂直于侧面，为的中点，，． (1)证明：平面； (2)侧棱上是否存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一二二中学校校考一模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，． (1)求证：； (2)在线段PD上是否存在一点M，使二面角的余弦值为？若存在，求三棱锥体积；若不存在，请说明理由． 【能力练】 19．（2023·北京·高三专题练习）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点． （1）求证：为的中点； （2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 20．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 21．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，. (1)若点是棱上的动点请判断下列条件：①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论； (2)若