第20练 线面角向量求法及应用【大题满分分层训练】-2024年一轮复习之立体几何篇

第20练 线面角向量求法及应用 【基础练】 1．（2023秋·高二单元测试）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 2．（2023春·广东汕头·高二校考期中）如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，. (1)求证：平面； (2)若E为PC的中点，求与平面所成角的正弦值. 3．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形是直角梯形，，，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 4．（2023·天津·校联考二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，E为PD中点. (1)若. （i）求证：平面PCD； （ii）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值； (2)若平面BCE与平面CED夹角的正弦值为，求PA. 5．（2023秋·河南商丘·高二宁陵县高级中学校考开学考试）如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥. (1)设平面平面，证明：⊥平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 6．（2023·天津和平·统考一模）在如图所示的几何体中，平面平面；是的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 7．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，，． (1)证明：平面SAB⊥平面ABC； (2)若，，试问在线段SC上是否存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为60°，若存在，请求出D点的位置；若不存在，请说明理由． 8．（2023·河北·统考模拟预测）如图，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，，平面平面. (1)证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 9．（2023·辽宁沈阳·统考三模）如图，在三棱锥中，，，，，点D为BC中点． (1)求二面角的余弦值； (2)在直线AB上是否存在点M，使得PM与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由． 10．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，，点为棱上一点，且. (1)若平面，求实数的值； (2)若平面，求直线和平面所成角的正弦值. 【提升练】 11．（2023·天津·校考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点M为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点N，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由. 12．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥，平面平面，点为的中点． (1)若，求直线与平面所成角的正弦值； (2)若，求的长． 13．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）如图，已知四棱锥中，，，，平面，平面平面 (1)证明：； (2)若，且，为的重心．求直线与平面所成角的正弦值． 14．（2023·广西桂林·校联考模拟预测）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3． (1)证明：平面ACF⊥平面BEFD； (2)若二面角A-EF-C是直二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值． 15．（2023·湖北·统考模拟预测）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，． (1)当时，求三棱柱的体积； (2)设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 16．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且. (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 17．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)若，，，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 18．（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，． (1)已知点为上一点，且，求证：与平面不平行； (2)已知直线与平面所成角的正弦值为，求该多面体的体积． 【能力练】 19．（2023秋·新疆·高二校考期末）如图，在四棱锥中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，ABDC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点. (1)证明：平面EAC⊥平面PBC； (2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角P-AC-E的余弦值. 20．（2023·新疆克拉玛依·克拉玛依市高级中学校考模拟预测）在四棱锥P-ABCD中，