第19练 数列不等式【大题满分分层训练】-2024年一轮复习之数列篇

第19练 数列不等式 【基础练】 1．（2023·江苏淮安·统考二模）已知数列，其前项和为，且满足，． （1）求； （2）求满足的最小整数． 2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前n项和，证明：． 3．（2023·全国·高二专题练习）已知为等差数列的前项和，，． （1）求； （2）记数列的前项和为，证明：． 4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，正项等比数列的首项为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)求使不等式成立的所有正整数n组成的集合． 5．（2023·四川成都·校考三模）已知数列前n项和为．从下面①②中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分． ①数列是等比数列，，且成等差数列； ②数列是递增的等比数列，，； (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前n项的和为，且．证明：． 6．（2023·北京·高三专题练习）已知各项均为正数的数列，其前n项和为，数列为等差数列，满足，.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （I）求数列的通项公式和它的前n项和； （II）若对任意不等式恒成立，求k的取值范围. 条件① 条件②，当，， 注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分. 7．（2024秋·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，数列满足. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围. 8．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为. 从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分. ①数列是等比数列，，且，，成等差数列； ②数列是递增的等比数列，，； ③. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项的和为，且.证明：. 9．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为．数列为等比数列，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）已知数列满足：，，设，． (1)求数列的通项公式； (2)设，，求证：． 【提升练】 11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，且满足 (1)设，证明：是等比数列 (2)设，数列的前项和为，证明： 12．（2022秋·湖南邵阳·高二统考阶段练习）已知各项为正数的数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，求证：． 13．（2023秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）已知函数满足，若数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围. 14．（2023秋·河南洛阳·高三校考阶段练习）已知数列的前项和为 (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 15．（2023秋·吉林白城·高三校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，且，若对于恒成立，求的取值范围． 16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 17．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知数列满足，且 (1)设，求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 18．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知等差数列 满足：的前n项和为 ． (1)求及 ； (2)令，若对于任意 ，数列的前n项和 恒成立，求实数m的取值范围． 【能力练】 19．（2021·天津·统考高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 20．（2020·浙江·统考高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，． （Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：． 21．（2023秋·广东佛山·高三校考阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数，. (1)当时，函数有极小值，求； (2)证明：恒成立； (3)证明：. 22．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知数列中，是其前项的和，，. (1)求，的值，并证明是等比数列； (2)证明：. 23．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前项和为,且满足. (1)求数列的通项公式; (2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立,求的取值范围