5.1 第1课时 二次根式的概念及性质（Word教案）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（湘教版）

5．1　二次根式 第1课时　二次根式的概念及性质 1．了解二次根式的定义； 2．理解二次根式在实数范围内有意义的条件；(重点) 3．掌握二次根式的两条重要性质．(重点，难点) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 前面我们学习了平方根和算术平方根，我们把a的算术平方根记作，那么形如的式子有哪些性质？对于中a的取值有什么要求？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的定义 下列各式中：①，②，③，④，⑤，⑥，一定是二次根式的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：根据二次根式的定义判断.的根指数是3，不是二次根式；的被开方数为负数，不是二次根式；的被开方数可能是负数，可能不是二次根式．一定是二次根式的有①③④，共3个，故选C. 方法总结：根据二次根式的定义，必须满足两个条件：①根指数是2，即形如；②被开方数为非负数． 探究点二：二次根式在实数范围内有意义的条件 x取何值时，下列各式在实数范围内有意义． (1)；(2)；(3)；(4). 解析：(1)要使有意义，必须使x＋2≥0；(2)要使有意义，必须使x－1≥0，且x－2≠0；(3)要使有意义，必须使x2＋1≥0，显然x为任何实数；(4)要使有意义，必须使－x2≥0，这时x＝0. 解：(1)x＋2≥0，所以x≥－2； (2)所以所以x≥1且x≠2； (3)x2＋1≥0，所以x为全体实数； (4)－x2≥0，所以x＝0. 方法总结：要使代数式有意义，应考虑如下情况：①有二次根式的，被开方数应大于或等于零，有多个二次根式的，应使所有被开方数大于或等于零；②有分式的，分母不等于零；③零次幂、负整数指数幂的底数不等于零． 探究点三：二次根式的性质 【类型一】 利用()2＝a(a≥0)进行计算 计算：(1)()2；(2)(2)2；(3)(－3)2. 解析：利用()2＝a(a≥0)及(ab)n＝anbn进行计算． 解：(1)()2＝； (2)(2)2＝4×()2＝4×3＝12； (3)(－3)2＝(－3)2×()2＝9×＝6. 方法总结：利用()2＝a(a≥0)计算时，幂的运算法则仍然适用． 【类型二】 二次根式中隐含条件a≥0的应用 已知y＝－＋5，则＝________． 解析：由已知条件y＝－＋5可知与都有意义，所以存在隐含条件故x＝2.把x＝2代入y＝－＋5，求得y＝5，所以＝. 方法总结：解决此类问题时应充分挖掘“二次根式有意义的条件被开方数(式)的非负性”，它往往是解答问题的突破口． 【类型三】 利用＝|a|计算 计算： (1)；　(2)；　(3)－. 解析：利用＝|a|进行计算． 解：(1)＝2；(2)＝|－|＝；(3)－＝－|－π|＝－π. 方法总结：＝|a|的实质是求a2的算术平方根，其结果一定是非负数． 【类型四】 利用＝|a|化简 如图所示为a，b在数轴上的位置，化简2－＋. 解析：由a，b在数轴上的位置确定a＜0，a－b＜0，a＋b＜0.再根据＝|a|进行化简． 解：由数轴可知－2＜a＜－1，0＜b＜1， 则a－b＜0，a＋b＜0. 原式＝2|a|－|a－b|＋|a＋b|＝－2a＋a－b－(a＋b)＝－2a－2b. 方法总结：利用＝|a|化简时，先必须弄清楚被开方数的底数的正负性，计算时应包括两个步骤：①把被开方数的底数移到绝对值符号中；②根据绝对值内代数式的正负性去掉绝对值符号． 三、板书设计 二次根式 本节课内容是在我们已学过的平方根、算术平方根的知识基础上，进一步引入二次根式的概念与性质．教学过程中，把学生当作主体，鼓励学生积极参与，并让学生探究二次根式在实数范围内有意义的条件．引导学生总结、归纳，得出二次根式的两条重要性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念及性质 【教学目标】 1.了解二次根式的意义，掌握二次根式的定义；能根据定义确定被开方数中字母的取值范围. 2.理解并掌握二次根式的性质：和. ⒊经历二次根式的定义的形成过程及二次根式性质的探究过程，提高数学探究能力及归纳能力. 【教学重点】 二次根式的概念和相关性质. 【教学难点】 运用二次根式的性质：和进行计算. 【教学过程】 一、新课引入 我们学习了平方根和算术平方根的意义，请同学们思考并回答下面3个问题： 1.5的平方根是 ，0的平方根是 ，正实数的平方根是 . 2. 表示什么？其中需要满足什么条件？为什么？ ⒊观察下列式子有何特点： 二、自主探究 1.二次根式的概念： ⑴我们把形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. ⑵由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.即：被开方数. ⑶ 判断：是不是二次根式.