14.2.2 完全平方公式（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

14.2.2 完全平方公式 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2 乘法公式 优翼数学教学课件（RJ）八上 你发现了什么？ 一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米，形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你发现了什么？ 情境引入 a a b b 直接求：总面积 = (a + b)(a + b). 间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. 导入新课 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = . p2 + 2p + 1 (2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = . m2 + 4m + 4 (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = . p2－2p + 1 (4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = . m2－4m + 4 根据上面的规律，你能直接写出下列式子的运算结果吗？ (a＋b)2 = . a2 + 2ab + b2 (a－b)2 = . a2－2ab + b2 合作探究 完全平方公式 新课讲授 知识要点 (a + b)2 = ； a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 文字叙述为：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央.” 完全平方公式 你能根据图 1 和图 2 中的面积解释完全平方公式吗? b a a b b a b a 图 1 图 2 想一想： 几何解释： a a b b = + + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 和的完全平方公式： a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 几何解释： (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 差的完全平方公式： a−b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. 问题 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题： 1. 说一说积的次数和项数； 2. 两个完全平方式的积有相同的项吗？与 a，b 有 什么关系？ 3. 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a， b 有什么关系？它的符号与什么有关？ 公式特征： 4. 公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式. 1. 积为二次三项式； 2. 积中两项为两数的平方和； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同； 想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (1) (x + y)2 = x2 + y2 (2) (x－y)2 = x2－y2 (3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2 × × × × x2 + 2xy + y2 x2－2xy + y2 x2－2xy + y2 4x2 + 4xy + y2 典例精析 例1 运用完全平方公式计算： 解：(4m + n)2 = = 16m2 (1) (4m + n)2； (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (4m)2 + 2 • (4m) • n + n2 + 8mn + n2. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 y2 = y2 - y + 解： = + - 2 • y • (2) . 利用完全平方公式计算： (1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2.