14.2.1 平方差公式（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

14.2 乘法公式 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2.1 平方差公式 优翼数学教学课件（RJ）八上 多项式与多项式是如何相乘的？ (x ＋ 3)( x＋5) = x2＋5x＋3x＋15 = x2＋8x＋15. ( a + b )( m + n ) = am + an + bm + bn 复习引入 导入新课 探究发现 面积变了吗？ a 米 5 米 5 米 a 米 (a-5) 米 相等吗？ 平方差公式 新课讲授 ① (x＋1)( x－1)； ② (m＋2)( m－2)； ③ (2m＋1)(2m－1)； ④ (5y＋z)(5y－z). 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 算一算：看谁算得又快又准. 想一想：这些计算结果有什么特点？ x2－12 m2－22 (2m)2－12 (5y)2－z2 (a + b)(a − b) = a2 − b2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： 1. (a – b)(a + b) = a2 – b2； 2. (b + a)(–b + a) = a2 – b2. 知识要点 平方差公式 平方差公式 注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个 多项式等． (a + b)(a - b) = a2 - b2 相同为 a 相反为 b 适当交换 合理加括号 填一填： a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 0.3x 1 (0.3x)2－12 (a + b)(a - b) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (0.3x - 1)(1 + 0.3x) (1 + a)(-1 + a) 练一练：口答下列各题： (l) (－a + b)(a + b) =_________. (2) (a－b)(b + a) = _________. (3) (－a－b)(－a + b) = ________. (4) (a－b)(－a－b) = _________. a2－b2 a2－b2 b2－a2 b2－a2 典例精析 例1 计算：(1) (3x＋2)(3x－2)； (2) (－x＋2y)(－x－2y). (2) 原式＝(－x)2－(2y)2 ＝x2－4y2. 解：(1) 原式＝(3x)2－22 ＝9x2－4. 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 利用平方差公式计算： (1) (3x－5)(3x＋5)； (2) (－2a－b)(b－2a)； (3) (－7m＋8n)(－8n－7m)． 针对训练 解：(1) 原式＝(3x)2－52＝9x2－25. (2) 原式＝(－2a)2－b2＝4a2－b2. (3) 原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2. 例2 计算： (1) 102×98; (2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) . 解：(1) 102×98 (2) (y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5) = 1002－22 = 10000－4 = (100＋2)(100－2) = 9996. = y2－22－(y2＋4y－5) = y2－4－y2－4y＋5 = －4y＋1. 通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算. 不符合平方差公式运算条件的，按乘法法则进行运算. 针对训练 计算：(1) 51×49；(2) (3x + 4)(3x - 4) - (2x + 3)(3x - 2). 解：(1) 原式 = (50＋1)(50－1) = 502－12 = 2500－1 = 2499. (2) 原式 = (3x)2－42－(6x2＋5x－6) = 9x2－16－6x2－5x＋6 = 3x2－5x－10. 例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2. 原式＝5×12－5×22＝－15. 解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2. 当 x＝1，y＝2 时， 例4 对于任意的正整数 n，整式 (3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n) 的值一定是 10 的整数倍吗？ 即整式 (3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n) 的值一定是 10 的整数倍. 解：原式＝9n2－1－(9－n2) ＝10n2－10. ∵ (1