13.1.2 第2课时 线段垂直平分线的有关作图（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第十三章 轴对称 第 2 课时 线段垂直平分线的有关作图 13.1 轴对称 优翼数学教学课件（RJ）八上 情境引入 如图，A，B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的直线路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 导入新课 互动探究 问题1：有时我们感觉一 (两) 个平面图形是轴对称的，如何验证呢？ A B C A′ B′ C′ 通过折叠，如果这 (两) 个图形能够互相重合，那么这 (两) 个图形成轴对称. 问题2：不折叠图形，你能准确地作出轴对称的图形的对称轴吗？ 线段垂直平分线的画法 新课讲授 尺规作图 如图，点 A 和点 B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ A B 分析：我们只要连接点 A 和点 B，作出线段 AB 的垂直平分线，就可得到点 A 和点 B 的对称轴. 为此作出到点 A，B 的距离相等的两点，即线段 AB 的垂直平分线上的两点，从而作出线段 AB 的垂直平分线. A B C D 作法： (1) 分别以点 A，B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点； (2) 作直线 CD. CD 即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 引例：如图，A，B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站. 使两个小区到车站的直线路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段 AB 的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到 AB 的垂直平分线与公路的交点便是. 公共汽车站 公路 例1 如图，已知点 A、点 B 以及直线 l. (1) 用尺规作图的方法在直线 l 上求作一点 P，使 PA＝ PB (保留作图痕迹，不要求写出作法)； (2) 在 (1) 中所作的图中，若 AM＝PN，BN＝PM，求证： ∠MAP＝∠NPB. M N A B l 典例精析 解：(1) 如图所示. (2) 在△AMP 和△PNB 中， ∵ AM＝PN，AP＝BP，PM＝BN， ∴△AMP≌△PNB (SSS). ∴∠MAP＝∠NPB. M N A B l P 例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离较近且相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计. (尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) O N M A B O N M A B 方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上. 解：如图所示： P 作法：(1) 找出五角星上的一对 对称点 A 和 B，连接 AB． (2) 作出线段 AB 的垂直平分线 l. 则 l 就是这个五角星的一条对称轴. 想一想：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？ A B l 用同样的方法，一共可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴. 作轴对称图形的对称轴 方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，就能得到此图形的一条对称轴. 例3 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 l 对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴. A B C A′ B′ C′ l 方法总结：如果成轴对称的两个图形对称点连线段(或延长线)相交，那么交点必定在对称轴上. 解：延长 BC、B'C' 交于点 P，延长 AC、A'C' 交于点 Q，连接 PQ，则直线 PQ 即为所要求作的直线 l. P Q 练一练：作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？ 1. 如图，在△ABC 中，分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 长为半径画弧，两弧分别交于点 D，E，则直 线 DE 是（　　） A．∠A 的平分线 B．AC 边的中线 C．BC 边的高线 D．AB 边的垂直平分线 D A B C 当堂练习 2. 如图，已知线段 AB 的垂直平分线 CP 交 AB 于点 P，且 AP = 2PC，现欲在线段 AB 上求作两点 D，E，使其满足 AD = DC = CE = EB，对于以下甲、乙两种作法： 甲：分别作∠ACP、∠BCP 的平分线，交 AB 于 D、E， 则 D、E 两点即为所求； 乙：分别作 AC、BC 的垂直平分线