13.1.2 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第十三章 轴对称 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 13.1 轴对称 优翼数学教学课件（RJ）八上 问题引入 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ A B C 导入新课 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，… 是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？ 请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 探究发现 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 线段垂直平分线的性质 新课讲授 猜想： 点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等． 性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，点 P 在 l 上． 求证：PA = PB． 证明：∵ l⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB． 又 AC = CB，PC = PC， ∴ △PCA≌△PCB (SAS)． ∴ PA = PB． P A B l C 验证结论 例1 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm 典例精析 A B C D E 解析：∵ △DBC 的周长为 BC＋BD＋CD ＝ 35 cm，又 DE 垂直平分 AB， ∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm. ∵ AC＝AD＋DC＝20 cm， ∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． A B C D E 练一练：1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 . B 10 cm P A B C D 图① A B C D E 图② 例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. A B C D E K 已知：直线 AB 和 AB 外一点 C. 求作：AB 的垂线，使它经过点 C. 作法：(1) 任意取一点 K，使点 K和点 C 在 AB 的两旁； (2) 以点 C 为圆心，CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和点 E； (4) 作直线 CF. 直线 CF 就是所求作的垂线. (3) 分别以点 D，E 为圆心，大于 DE 的长为半径画弧，两弧相交于点 F (不同于点 C )； F 点击视频开始播放 → 尺规作图——作已知直线的垂线 (1) 为什么任意取一点 K ，使点 K 与点 C 在直线两旁？ (2) 为什么要以大于 的长为半径作弧？ (3) 为什么直线 CF 就是所求作的垂线？ 想一想： A B C D E K F 例3 已知：如图，在△ABC 中，边 AB，BC 的垂直平分线交于 P. 求证：PA = PB = PC. B A C M N M' N' P PA = PB = PC PB = PC 点 P 在线段 BC的垂直平分线上 PA = PB 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 解析： 证明：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线 MN 上， ∴ PA = PB. 同理，PB = PC. ∴ PA = PB = PC. 方法总结：三角形任意两边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等. 现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？ 例4 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证：(1) FC＝AD；(2) AB＝BC＋AD. 解析：(1) 根据 AD∥BC 可知∠ADC＝∠ECF，再根据 E