15.3 第1课时 分式方程及其解法（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

15.3 分式方程 第十五章 分 式 第 1 课时 分式方程及其解法 优翼数学教学课件（RJ）八上 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等. 设江水的流速为 x 千米/时，根据题意可列方程为 . 问题引入 这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一 次方程有什么区别？ 导入新课 定义： 此方程的分母中含有未知数 x，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 知识要点 分式方程的概念 新课讲授 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)． （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母 都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 你能试着解这个分式方程吗？ 分式方程的解法 方程的最简公分母是：(30 + x)(30 - x). 解：方程两边同乘 (30 + x)(30 - x)，得 90(30 - x) = 60(30 + x)， 解得 x = 6. x = 6 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x = 6 代入原分式方程中，左边 = = 右边， 因此 x = 6 是原分式方程的解. 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. 归纳 下面我们再解一个分式方程： 解：方程两边乘最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得整式方程 x + 5 = 10. 解得 x = 5. x = 5 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x = 5 代入原分式方程检验，发现这时分母 x - 5 和 x2 - 25 的值都为 0，相应的分式方程无意义. 因此 x = 5 虽是整式方程 x + 5 = 10 的解，但不是原分式方程 的解. 实际上，这个分式方程无解. 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 真相揭秘：分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程： 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时，(30+x)(30-x)≠0 真相揭秘：分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的等式必然成立（即整式方程的解与原分式方程无关），但其解使原分式方程中的分母为 0，故这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x + 5 = 10 两边同乘(x + 5)(x - 5) 当 x=5 时，(x + 5)(x - 5)=0 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验． 怎样检验？ 分式方程解的检验——必不可少的步骤 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解. 1. 在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； 2. 解这个整式方程； 3. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； 4. 写出原方程的解. 简记为：“一化二解三检验”. 知识要点 “去分母法”解分式方程的步骤 典例精析 例1 解方程： 解： 方程两边同乘 x(x - 3)，得 2x = 3x - 9. 解得 x = 9. 检验：当 x = 9 时， x(x - 3)≠0， 所以，原分式方程的解为 x = 9. 例2 解方程： 解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 2)，得 x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3. 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 2) = 0， 因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 用图框的方式总结为： 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x = a 检验 x = a 是分式 方程的解 x = a 不是 分式方程的解 当 x = a 时 最简公分母是 否为零？ 否 是 例3 关于 x 的方程 的解是正数，则 a 的取值范围是______________． 解析：去分母得