14.3.2 第1课时 运用平方差公式因式分解（Word教案）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

14．3.2　公式法 第1课时　运用平方差公式因式分解 1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点．(重点) 2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流． 2．你能将a2－b2分解因式吗？你是如何思考的？ 二、合作探究 探究点：运用平方差公式分解因式 【类型一】 判定能否利用平方差公式分解因式 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9 解析：A中a2＋(－b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2－20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中－x2－y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中－x2＋9＝－x2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D. 方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． 【类型二】 利用平方差公式分解因式 分解因式： (1)a4－b4；(2)x3y2－xy4. 解析：(1)a4－b4可以写成(a2)2－(b2)2的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有一个因式a2－b2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x3y2－xy4有公因式xy2，应先提公因式再进一步分解因式． 解：(1)原式＝(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2＋b2)(a－b)(a＋b)； (2)原式＝xy2(x2－y2)＝xy2(x＋y)(x－y)． 方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 【类型三】 底数为多项式或单项式时，运用平方差公式分解因式 分解因式： (1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2. 解析：将原式转化为两个式子的平方差的形式后，运用平方差公式分解因式． 解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b)； (2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝4(m＋2n)(2m＋n)． 方法总结：在平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)中，a和b可以代表单项式、多项式或单独一个数． 【类型四】 利用因式分解整体代换求值 已知x2－y2＝－1，x＋y＝，求x－y的值． 解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x＋y的值代入计算即可求出x－y的值． 解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y＝，∴x－y＝－2. 方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便． 【类型五】 利用因式分解解决整除问题 248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数． 解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可． 解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63. 方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除． 【类型六】 利用平方差公式进行简便运算 利用因式分解计算： (1)1012－992； (2)5722×－4282×. 解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可． 解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400； (2)5722×－4282×＝(5722－4282)×＝(572＋428)(572－428)×＝1000×144×＝36000. 方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便． 【类型七】 在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式． (1)x2－5； (2)x3－2x. 解析：(1)直接利用平方差公式分解，即可求得答案；(2)首先提取公因式x，然后利用平方差公式进行二次分解，即可求得答案． 解：(1)x2－5＝(x＋)(x－)； (2)x3－2x＝x(x2－2)＝x(x＋)(x－)． 方法总结：注意因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的结果可以出现无理数． 【类型八】 因式分解的实际应用 如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有