14.2.1 平方差公式（Word教案）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

14．2　乘法公式 14．2.1　平方差公式 1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解．(重点) 2．掌握平方差公式的应用．(重点) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则． 学生积极举手回答． 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式． 二、合作探究 探究点：平方差公式 【类型一】 判断能否应用平方差公式进行计算 下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) 解析：A中含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B中(－x＋y)(x－y)＝－(x－y)(x－y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C中(－x－y)(y－x)＝(x＋y)(x－y)，含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；D中(x＋y)(－x－y)＝－(x＋y)(x＋y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选C. 方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 【类型二】 直接应用平方差公式进行计算 利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)． 解析：直接利用平方差公式进行计算即可． 解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25； (2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2； (4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16. 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 【类型三】 平方差公式的连续使用 求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)的值． 解析：根据平方差公式，可把2看成是(3－1)，再根据平方差公式即可算出结果． 解：2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(34－1)(34＋1)(38＋1)＝(38－1)(38＋1)＝316－1. 方法总结：连续使用平方差公式，直到不能使用为止． 【类型四】 应用平方差公式进行简便运算 利用平方差公式简算： (1)20×19；(2)13.2×12.8. 解析：(1)把20×19写成(20＋)×(20－)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算． 解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝400－＝399； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96. 方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键． 【类型五】 化简求值 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解． 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15. 方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算． 【类型六】 利用平方差公式探究整式的整除性问题 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数吗？ 解析：利用平方差公式对代数式化简，再判断是否是10的倍数． 解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10＝10(n＋1)(n－1)，∵n为正整数，∴(n－1)(n＋1)为整数，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数． 方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题． 【类型七】 平方差公式的实际应用 王大伯家把一块边长为a米的正方形土