14.2.1 平方差公式（Word导学案）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

第十四章 整式的乘法与因式分解 14．2 乘法公式 14．2．1 平方差公式 学习目标：1．经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征． 2．灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题． 重点：掌握平方差公式的结构特征． 难点：应用平方差公式进行计算和解决实际问题． 自主学习 一、知识链接 1．多项式乘多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项_________另一个多项式的每一项，再把所得的积_______． 2．计算： （1）(x＋1)(x＋3)＝_________________；（2）(x＋3)(x－3)＝________________； （3）(m＋n)(m－n)＝________________． 课堂探究 1、 要点探究 探究点：平方差公式 算一算：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①(x＋1)(x－1)=_______________；②(m＋2)(m－2)=_______________； ③(2m＋1)(2m－1)=_______________； ④(5y＋z)(5y－z)=_______________． 想一想：这些计算结果有什么特点？ 要点归纳：平方差公式： (a+b)(a−b)=_________，即两数和与这两数差的积，等于这两数的__________． 公式变形： 1．(a－b)(a+b)= a2－b2 2．(b+a)(－b+a)= a2－b2 填一填： (a－b)(a+b) a b a2－b2 (1+x)(1－x) (－3+a)(－3－a) (1+a)(－1+a) (0.3x－1)(1+0.3x) 练一练：口答下列各题： （1）(－a+b)(a+b)=_________． （2）(a－b)(b+a)= __________． （3）(－a－b)(－a+b)= ． （4）(a－b)(－a－b)= ． 典例精析 例1：计算：（1）(3x＋2)(3x－2)； （2）（－x+2y)(－x－2y)． 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；（2）右边是相同项的平方减去相反项的平方；（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 针对训练 利用平方差公式计算： （1）(3x－5)(3x＋5)； （2）(－2a－b)(b－2a)； （3）(－7m＋8n)(－8n－7m)． 例2：计算： （1）102×98； （2）(y+2)(y－2)－(y－1)(y+5)． 针对训练 计算： （1）51×49； （2）(3x+4)(3x－4)－(2x+3)(3x－2) ． 例3：先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2． 例4：对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？ 方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将整式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系． 例5：王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题． 二、课堂小结 当堂检测 1．下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y) 2．计算（2x+1）（2x－1）等于（　　） A．4x2－1 B．2x2－1 C．4x－1 D．4x2+1 3．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________． 4．利用平方差公式计算： （1）(a+3b)(a－3b)； （2）(3+2a)(－3+2a)； （3）(－2x2－y)(－2x2+y)． 5．计算：20222－2021×2023． 6．利用平方差公式计算： （1）(a－2)(a+2)(a2 + 4)； （2）(x－y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)． 7．先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2． 拓展提升 8．已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1