13.1.2 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定（Word导学案）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

第十三章 轴对称 13．1 轴对称 13．1．2 线段的垂直平分线的性质 第1课时 线段垂直平分线的性质运判定 学习目标：1．理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法． 2．会用尺规过一点作已知直线的垂线. 3．能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题． 重点：理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法． 难点：能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题． 课堂探究 1、 要点探究 探究点1：线段垂直平分线的性质 探究发现：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，…到点A 与点B 的距离之间的数量关系． P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B 猜想：点P1，P2，P3，…到点A 与点B 的距离分别相等． 由此你能得到什么结论？ 性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等． 你能验证这一结论吗？ 验证结论： 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P在l上． 求证：PA =PB． 典例精析 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 练一练： 1．如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A． 6 B． 5 C． 4 D． 3 2．如图②所示，在△ABC中，BC=8 cm，边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E， △BCE的周长等于18 cm，则AC的长是 ． 例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB和AB外一点C ． 求作：AB的垂线，使它经过点C ． 想一想：（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？ （2）为什么要以大于DE的长为半径作弧？ （3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？ 例3 已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于P．求证：PA=PB=PC． 方法总结：三角形任意两边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等. 例4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F． 求证：（1）FC＝AD（2）AB＝BC＋AD． 探究点2：线段垂直平分线的判定 合作探究： 想一想：如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 知识要点： 线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵PA =PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上． 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上． 想一想：你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个这样的点？这些点能组成什么几何图形？ 应用格式： ∵AB =AC，MB =MC， ∴直线AM 是线段BC 的垂直平分线． 作用：判断一条直线是线段的垂直平分线的方法． 例5 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD．求证：OE是CD的垂直平分线． 二、课堂小结 当堂检测 1．如图所示，AC=AD，BC=BD，则下列说法正确的是（　 ） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 2．在锐角△ABC内有一点P，满足PA=PB=PC，则点P是△ABC( ) A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合有　　　　种． 4．下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 （填序号）． 5．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线