13.1.2 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定（Word导学案）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（人教版）

第十三章 轴对称

13．1 轴对称

13．1．2  线段的垂直平分线的性质

第1课时 线段垂直平分线的性质运判定

学习目标：1．理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．

          2．会用尺规过一点作已知直线的垂线.

          3．能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．

重点：理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．

难点：能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．

 

一、要点探究

探究点1：线段垂直平分线的性质

探究发现：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，…到点A 与点B 的距离之间的数量关系．

P1A ____P1B

P2A ____ P2B

P3A ____ P3B

 

 

猜想：点P1，P2，P3，…到点A 与点B 的距离分别相等．

由此你能得到什么结论？

 

 

性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．

你能验证这一结论吗？

           

验证结论：

已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P在l上．

求证：PA =PB．

 

 

典例精析

例1  如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(　　)

A．5 cm

B．10 cm

C．15 cm

D．17.5 cm

 

方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．

 

 

练一练：

1．如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（    ）

A．  6        B．  5       C．   4      D． 3

2．如图②所示，在△ABC中，BC=8 cm，边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E， △BCE的周长等于18 cm，则AC的长是          ．

 

例2  尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．

已知：直线AB和AB外一点C ．

求作：AB的垂线，使它经过点C ．

想一想：（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？

（2）为什么要以大于DE的长为半径作弧？  

（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？

例3  已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于P．求证：PA=PB=PC．

方法总结：三角形任意两边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.

例4  如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．

求证：（1）FC＝AD（2）AB＝BC＋AD．

探究点2：线段垂直平分线的判定

合作探究：

想一想：如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？

已知：如图，PA =PB．

求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．

知识要点：

线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

应用格式：

∵PA =PB，

∴点P 在AB 的垂直平分线上．

作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上．

 

想一想：你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个这样的点？这些点能组成什么几何图形？