14.1.1 直角三角形三边的关系（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（华东师大版）

14.1 勾股定理 第14章 勾股定理 1.直角三角形三边的关系 优翼数学教学课件（HS）八上 某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高 3 米，消防队员取来 6.5 米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是 2.5 米，请问消防队员能否进入三楼灭火? 导入新课 观察正方形瓷砖铺成的地面. (1) 正方形 P 的面积是 平方厘米； (2) 正方形 Q 的面积是 平方厘米； (3) 正方形 R 的面积是 平方厘米. 1 2 1 R Q P A C B SP + SQ = SR 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ [图中每一格代表一平方厘米] AC2 + BC2 = AB2 等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？ Sp = AC2 SQ = BC2 SR = AB2 直角三角形三边的关系 新课讲授 这说明在等腰直角三角形 ABC 中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 那么，在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？ 想一想 P 的面积(单位长度) Q 的面积(单位长度) R 的面积(单位长度) 图 2 图 3 P、Q、R 面积关系 直角三角形三边关系 Q P R Q P R A B C A B C 9 16 25 9 4 13 SP + SQ = SR BC2 + AC2 = AB2 (每一小方格表示 1 平方厘米) BC2 + AC2 = AB2 试一试 图 2 图 3 Q P R Q P R 把 R 看作是四个直角三角形的面积 + 小正方形面积. Q P R Q P R 把 R 看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积. S正方形R 分别以 5 cm、12 cm 为直角三角形的直角边作出一个直角三角形 ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立. 13 5 12 A B C 做一做 由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么一定有 a2 + b2 = c2 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵ 在 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2（勾股定理）. a A B C b c ∟ 归 纳 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. a b c ∵ S大正方形＝c2， S小正方形＝(b - a)2， ∴ S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图 b-a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理. a a a a b b b b c c c c 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 . (a + b)2 即 a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 = c2. 方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理. 做一做 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）： 已知直角三角形两边，求第三边. 练一练 1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 . 15 cm 17 cm 64 cm² 当堂练习 13 2. 判断题 ①△ABC 的两边 AB = 5，AC = 12，则 BC = 13 ( ) ②△ABC 的 a = 6，b = 8，则 c = 10 ( ) 3. 填空题 在△ABC 中，∠C = 90°，AC =