2.2 基本不等式(12种题型)讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 1、基本不等式： 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，有。 当且仅当时，等号成立。 特别地，如果，，我们用，分别代替上式中的，，可得。 （1） 当且仅当时，等号成立。 通常称不等式（1）为基本不等式，其中，叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数。基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 2、两者的异同： ①成立的条件是不同的：前者只要求，都是实数，而后者要求，都是正数。 ②取等号“＝”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。 ③可变形为：、、、， 可以变形为：、。 3、利用基本不等式求最值问题（最值定理）： 已知，则。 如果积等于定值，那么当时，和有最小值。（简记：积定和最小） 如果和等于定值，那么当时，积有最大值。（简记：和定积最大） 利用上述结论，可以快速地求出最大值和最小值，积正实数之积为定值，其和有最小值；而正实数之和为定值，其积有最大值，可简记为：积定和最大，和定积最小。 4、一正，二定，三相等： 一正：即所求最值的各项必须都是正值，否则容易出现错误的答案：比如函数，当时 ，绝不能认为，由此得出错误的结论：的最小值为。 二定：即含变量的各项系数的和或者积必须为常数，如果要求的最小值，必须为定值；求的最大值，必须为定值。 三相等：即不等式具备等号成立的条件，使函数取得最大值或最小值。 5、常用结论： ①若，则 （当且仅当时取“等号”）； 若，则 （当且仅当时取“等号”）； 若，则即或 （当且仅当时取“等号”）。 6、基本不等式链： 若，则，当且仅当时，等号成立。 7、热点基本不等式： 若，则，当且仅当时，等号成立。 。 【题型1】积定和最小 1．（2022•南通期中）若x＞0，y＞0，且xy＝10，则2x+5y的最小值为（　　） A．20 B．10 C． D． 2．（2021•湖南期末）若x≥1，则的最小值为（　　） A． B． C． D．5 3．（2022•东城区期末）已知a＞0，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2022•朝阳区校级月考）y（x＞0）的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2】和定积最大 1．（2022•玄武区校级期中）若x＞0，y＞0，且x+y＝18，则的最大值为（　　） A．9 B．18 C．36 D．81 2．（2021•红岗区校级期末）已知x，y均为正数，且满足x+2y＝4，则xy的最大值为（　　） A． B．2 C． D． 3．（2022•温州期中）已知正实数x，y满足，则xy的最小值为（　　） A．2 B． C． D．1 4．（2020•荆州期末）已知0＜x＜1，则x（3﹣3x）的最大值为（　　） A． B． C． D． 【题型3】凑项、分离分式 1．（2022•南阳月考）已知x＞1，则y＝x取得最小值时x的值为（　　） A．3 B．2 C．4 D．5 2．（2022•白银期末）若x＞3，则的最小值为 （　　） A．4 B．5 C．16 D．17 3．（2022•丹东期末）若x＞1，则函数的最小值为（　　） A．4 B．5 C．7 D．9 4．（2021•诸暨市校级期中）若﹣1＜x＜1，则y有（　　） A．最大值﹣1 B．最小值﹣1 C．最大值1 D．最小值1 【题型4】凑系数 1．（2021•张家界期末）设0＜x，则函数y＝x（3﹣2x）的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 2．（2021•临武县校级月考）设0＜x，函数y＝4x（3﹣2x）的最大值为（　　） A． B．3 C． D．6 3．（2021•武清区月考）设x∈R+且，求的最大值，并求出取最大值时x，y的取值． 【题型5】基于简单变换的复杂构造 1．（2022•深圳校级月考）已知x，y为正实数，则的最小值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（2021•开福区校级月考）设x，y为正实数，则M的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023•济宁模拟）已知实数a，b满足ab＞0，则的最大值为（　　） A．2 B．2 C．3﹣2 D．3+2 4．（2022•越城区校级期末）已知x，y都是正实数，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．（2022•成都期中）若实数x、y满足xy＞0，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【题型6】“1”的变换01 1．（2022•金凤区校级月考）若正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为（　　） A． B．6 C． D． 2．（2023