专题09 相似三角形中的基本模型-对角互补模型-2023-2024学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题09 相似三角形中的基本模型--对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1.对角互补模型（相似模型） 【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 【常见模型及结论】 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 辅助线：过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H， 结论：①△ODE∼△OHF；②（思路提示：）. 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 辅助线：作法1：如图1，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G； 结论：①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，） 辅助线：作法2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F； 结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，） 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180° 辅助线：过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F； 结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD四点共圆。 例1．（2022·黑龙江·鸡西九年级期末）如图，在Rt中，，，，在Rt中，，点在上，交于点，交于点，当时，的长为（    ） A．4 B．6 C． D． 例2．（2023·上海普陀·九年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O． (1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA． 例3．（2022·江西·吉水县九年级期末）【问题情境】如图①，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点． 【问题探究】（1）在旋转过程中，①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ的数量关系是（　　） A、DP＜DQ       B、DP＝DQ      C、DP＞DQ      D、无法确定 ②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由． ③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为　　（直接写出结论，不必证明）。（2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由． 例4．（2023年广东中考一模数学试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明： ； （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长． 例5．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明； （3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在AB