专题06 圆中的重要模型-圆幂定理模型-2023-2024学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题06 圆中的重要模型--圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 模型1.相交弦模型 条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 例1．（2023·广东广州·九年级校考期中）如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点P，大圆的弦经过点P，且，，两圆组成的圆环的面积是 ．    例2．（2023·江西景德镇·九年级校考期末）如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝ ． 例3．（2023·江苏·九年级专题练习）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．    (1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． (2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． 模型2.双割线模型 条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 例1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图：、为⊙O的两条割线，若，，则的长为（　　）    A．10 B．7 C． D．3 例2．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为 ． 例3．（2022·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点． 求证：． 证明一：连接、， ∵和为所对的圆周角，∴______． 又∵，∴______，∴______． 即． 研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接、， 模型3.切割线模型 条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 例1．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）如图，与切于点，是的割线，如果，那么的长为 . 例2．（2023·河南郑州·一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线． 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂定理（切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，A是⊙O外一点， ．求证： ． 例3．（2023·山东潍坊·统考一模）如图，是的直径，点C、D在上，且平分，过点D作的垂线，与的延长线相交于E，与的延长线相交于点F，G为的下半圆弧的中点，交于H，连接(1)证明：是的切线；(2)若圆的半径，求的长；(3)求证：．    模型4.弦切角模型 条件：如图，CB是圆O的切线，AB是圆O的直径。 结论：1）； 2）； 3）。 例1．（2023·河南三门峡·统考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质． （1）如图，直线与⊙O相切于点，，为⊙O上不同于的两点，连接，，．请你写出图中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段） （2）小锐目测和可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法