专题05 圆中的重要模型-圆幂定理模型-2023-2024学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题05 圆中的重要模型--圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 模型1.相交弦模型 条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 例1．（2023·广西·九年级假期作业）如图：若弦经过圆O的半径的中点P，且，则圆O的直径为（　　）    A．7 B．8 C．9 D．10 例2．（2023·山东菏泽·九年级统考期中）如图，已知、、、在同一个圆上，，与交于，若，，且线段、为正整数，则 ．    例3．（2023·江苏扬州·九年级专题练习）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，O的两弦，相交于点P． 求证：． 证明：如图1，连接，． ∵，． ∴，（根据_____________） ∴，∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据： ；@： ． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，是O的弦，P是上一点，，，，求的半径． 模型2.双割线模型 条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 例1．（2023·重庆·一模）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ． 例2．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）如图，PAB为割线且PA=AB，PO交⊙O于C，若OC=3，OP=5，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 例3．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图，延长弦、弦，交于圆外一点A，连接． (1)证明：；(2)若，求． 模型3.切割线模型 条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 例1．（2023·广东·九年级假期作业）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．    例2．（2022·广东深圳·校考三模）弗朗索瓦·韦达是十六世纪法国最杰出的数学家之一，最早提出“切割线定理”（圆幂定理之一），指的是从圆外一点引圆的切线和割线，则切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，下面紧跟着圆的切线作图的思路尝试证明与运用． (1)作图（保留作图痕迹）：已知AB是圆O的直径，点P是BA延长线上的一点， ①作线段OP的中垂线MN交OP于点Q；②以Q为圆心，PQ为半径作圆，交圆O于点E、F；③连接PE和PF；试说明PE是圆O切线的理由． (2)计算：若圆O半径OB=4，PB=14，尝试证明“切割线定理”并计算出PE的长度． 例3．（2022春·河南洛阳·九年级统考期中）圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．你能给出证明吗？ 下面是证明的开头： 已知：如图①，点P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于A，割线PBC与圆相交于点B、C． 求证：PA2＝PB•PC 证明：如图②，连接AB、AC、B0、AO， 因为PA切⊙0于点A，∴．PA⊥AO，∠PAB＋∠BAO＝90°． 阅读以上材料，完成下列问题：(1)补充完成上面的证明过程； (2)如图③，割线PDE与⊙O交于D、E，且PB＝BC＝4，PE＝7，求DE的长． 模型4.弦切角模型 条件：如图，CB是圆O的切线，AB是圆O的直径。 结论：1）； 2）； 3）。 例1．（2022秋·广东江门·九年级统考期末）如图，点A、B、C在O上，直线与O相切于点A． (1)试问：与有怎样的大小关系？证明你的结论； (2)如果我们把形如这样的角称为“弦切角”，请你用文字表述你在（1）中得出的结论． 例2．（2022·河南南阳·统考一模）弦切角定理（弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有非常重要的作用，为了说明弦切角定理的正确性，小明同学进行了以下探索过程： 问题的提出：若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角． 问题的证明：（只证明劣