专题05 相似三角形中的基本模型-对角互补模型-2023-2024学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题05 相似三角形中的基本模型--对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1.对角互补模型（相似模型） 【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 【常见模型及结论】 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 辅助线：过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H， 结论：①△ODE∼△OHF；②（思路提示：）. 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 辅助线：作法1：如图1，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G； 结论：①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，） 辅助线：作法2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F； 结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，） 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180° 辅助线：过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F； 结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD四点共圆。 例1．（2023·重庆·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________． 例2．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）如果，求证：． 例3．（河南省鹤壁市致远中学2021-2022学年九年级上学期第二阶段考试数学试题）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F． (1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①，______． (2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时，______． ②若改变点D的位置，且时，求的值，请就图③的情形写出解答过程． (3)如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似． 例4．（2022·山东·宁阳县九年级期末）如图1，将直角三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点． （1）求证：；（2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，则______． 例5．（2023·河南信阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 课后专项训练 1．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形中，，对角线交于点，分别是边上的点，且与交于点，则的值为 ．    2．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△A