专题07 三角形中的特殊模型-平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型-2023-2024学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题07.三角形中的特殊模型-平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型） 模型1、平分平行（射影）构等腰 1）角平分线加平行线必出等腰三角形． 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，过上一点M作，与OB相交于点N，，则 ．    例2．（2023·浙江·八年级期中）如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于 ． 例3．（2023·广东·八年级期末）如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为 cm． 例4.（2023.江苏八年级期中）如图，已知：在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，交AB于G．，，则__________，__________． 模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型 1）内角平分线定理 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。 结论： 2）外角平分线定理 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 3）奔驰模型 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 例1．（2023·江苏扬州·七年级校考期末）如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为1，则的面积为 ． 例2．（2023春·浙江八年级专题练习）如图，的角平分线、、交于点，若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．三条高的比为 例3．（2023·河南驻马店·校考三模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 《数学的发现》是2006年科学出版社出版的图书，作者是（美）乔治·波利亚．本书通过对各种类型生动而有趣的典型问题（有些是非数学的））进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型． 共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形． 共高定理：如图①，设点M在直线上，点P为直线外一点，则有 下面是该结论的证明过程：证明：如图①，过点P作于点Q， ．．．．．． 按要求完成下列任务： (1)请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明； (2)如图②，，①画出的平分线（不写画法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）； ②若的平分线交于D，求证：；(3)如图③，E是平行四边形边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若的面积为2，则的面积为 ； 例4、△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证：． 例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 课后专项训练 1．（2023湖北省武汉市八