专题07 将军饮马模型-2023-2024学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题07.将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。·· 模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值 【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小 。 （1）如图1，点A、B在直线m两侧： 辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB. （2）如图2，点A、B在直线同侧： 辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’ ，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B. 图1 图2 例1．（2022·江苏·八年级专题练习）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____． 例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（    ） A． B．3 C．2 D．4 例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_________． 例4．（2023·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ___． 例5．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　 　； （2）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由． 模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值 【模型探究】已知定点A位于定直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’ 、A’’ ，连接A’A’’ 交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA的最小值为A’A’’. 例1．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 例2．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 例3．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，，点为内一点，，点分别在上，求周长的最小值． 例4.（2023.山东八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 3 模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值 【模型探究】A，B为定点，在定直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 （1）如图1，两个点都在直线外侧： 辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB. （2）如图2，一个点在内侧，一个点在外侧： 辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB’. 图1 图2 （3）如图3，两个点都在内侧： 辅助线：过点A、B作关于定直线m、n的对称点A’ 、B