第十六章 二次根式（7个知识归纳+13类题型突破）-2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）

第十六章 二次根式（7个知识归纳+13类题型突破） 1.掌握二次根式的概念和有无意义的条件； 2.掌握二次根式的性质； 3.掌握二次根式的化简与计算； 知识点1．二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点2.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点4.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 知识点5.二次根式的运算： （1）二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： （2）二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. （3） 二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 二次根式的加减步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． 知识点6.二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用． ①与实数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个单项式，多个不同类的二次根式的和可以看作多项式． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式或整式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点7.二次根式的应用： 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型一 求二次根式的参数 1．（2023秋·全国·八年级专题练习）若是整数，则正整数的最小值是（    ） A．2 B．14 C．7 D．56 2．（2023春·福建福州·八年级校考期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 3．（2023春·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校联考期中）若二次根式，的值是整数，则下列n的取值符合条件的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练： 1．（2023秋·九年级课时练习）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（　　） A．2 B．4 C．5 D．20 2．（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）已知 是正整数，则实数n的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·广东惠州·九年级惠州市河南岸中学校考开学考试）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ． 4．（2023秋·全国·八年级专题练习）若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 5．（2022·全国·八年级假期作业）已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 题型二　二次根式有意义的条件 4．（2023春·陕西渭南·八年级统考期中）若二次根式有意义，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）若二次根式有意义，则的取值范围为（    ） A．且 B． C． D．且 6．（2023秋·全国·八年级专题练习）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D．且 巩固训练 1．（2023春·河北邢台·八年级统考开学考试）若式子有意义，则m的值可以是（　　） A．5 B．3 C．1 D． 2（2023春·甘肃定西·八年级校考阶段练习）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 3．（2023秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考开学考试）若在实数范围内有意义，则