17.4 一元二次方程的应用（第2课时 一元二次方程的实际问题 ）（讲+练，九大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

17.4 一元二次方程的应用 第2课时 一元二次方程的实际问题 1. 会分析实际问题中蕴含的数量关系，找出等量关系,列出一元二次方程解决实际问题，并根据具体问题的实际意义,取符合实际意义的解作答 2. 经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学建模作用 3. 体会数学来源于实践,反过来又作用于实践,增强应用数学的意识. 知识点一 列一元二次方程解实际问题的一般步骤 1.列方程解实际问题的实质 列方程解实际问题就是先把实际问题抽象为数学问题(即转化)然后通过解决数学问题来解决实际问题。 2. 列一元二次方程解实际问题的一般步骤 (1) 审:是指审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的数量关系. (2) 设:是指设元,也就是设未知数,设元又分直接设元和间接设元.所谓直接设元就是问什么设什么;如果直接设元列方程比较难或列出的方程比较复杂,这时可以考虑间接设元,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但更便于列出方程,因此间接设元也是常用的一种方法. (3) 列:列方程,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表示这个等量关系，就得到含有未知数的等式，即方程. (4) 解:解方程,求出未知数的值. (5) 验:检验方程的解是否正确及能否使实际问题有意义. (6) 答:回答问题一定要遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则. 简记：审设列解验答。 即学即练（2022秋·上海静安·八年级校考期中）某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的总营业额万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增长率分别表示出二月、三月的营业额即可求解． 【详解】解：由题意得：二月的营业额为： 三月的营业额为： 故一月、二月、三月的总营业额为： 故根据总营业额为万元，可列方程为： 故选：D 【点睛】本题考查增长率问题．分别表示出二月、三月的营业额是解题关键． 知识点二 列一元二次方程解常见的实际问题 常见题型 列方程的理论依据 行程问题 路程=速度×时间 平均增长率(降低率)问题 为起始量,为终止量，为增长(或降低)的次数， 平均增长率公式:(为平均增长率) 平均降低率公式:(为平均降低率) 传播问题 传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设为传染源数，为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为 销售利润问题 利润=售价-进价; ； 售价=进价×(1+利润率); 总利润=总售价－总成本=单件利润×总销售量 几何图形问题 利用几何图形的面积、周长公式 存款利息问题 本息和＝本金+利息;利息＝本金×利率×期数 数字问题 两位整数＝十位数字×10＋个位数字; 三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字 工程问题 一般情况把工作总量设为单位“1” 当甲独立完成整个工作时，工作时间与工作效率互为倒数 工作效率×工作时间＝工作总量 动态几何问题 运用几何知识以及行程公式， 一般采用间接设元的方法 即学即练 （2022秋·上海青浦·八年级校考期中）如图，要建一个面积为65平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为米，则可列方程为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设仓库的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有能围成32米长的木板，那么平行于墙的一边长为米，而仓库的面积为65平方米，由此即可列出方程． 【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，则平行于墙的一边长为米， 依题意得，即 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系． 题型一 传播问题 例1 （2022秋·上海宝山·八年级校考期中）有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向 人发送短信． 【答案】9 【分析】设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，第一轮后共有人收到短信，第二轮发送短信的过程中，又平均一个人向x个人发送短信，则第二轮后共有人收到短信，根据这样经过两轮短信的发送共有90人收到同一条短信列出方程． 【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信， 则：． 整理得： 解得或（舍去） 故答案为：9． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．该类题解答的关键在于分析每一轮中发送的人数与接收的人数，并能结合题意，列出方程． 举一反三1 （2023·广东阳江·统考一模）自年