专题01 空间向量、基本定理及坐标运算（知识串讲+热考题型+专题训练）-【备考期中期末】2023-2024学年高二数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01 空间向量、基本定理及坐标运算高二数学期中、期末复习大串讲（2019版人教A） 一、空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度． (2)几种常用特殊向量 ①单位向量：长度或模为1的向量． ②零向量：长度为0的向量． ③相等向量：方向相同且模相等的向量. ④相反向量：方向相反而模相等的向量． ⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量． ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量． 二、空间向量的线性运算 (1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广． 设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则，，. （2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律 ①加法交换律：a＋b＝b + a . ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a +（b＋c）． ③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb. ④数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)． 三、共线向量定理、共面向量定理 (1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使.把{a，b，c}叫做空间的一个基底． 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z， 使.其中x＋y＋z＝1. 四、空间向量的数量积及其性质 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)； (3)|a|2＝a2，|a|＝. 2.设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ， ①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向； θ＝__π__时，a与b反向． ②a⊥b⇔θ＝____⇔a·b＝0． ③θ为锐角时，a·b__>__0，但a·b>0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a·b__<__0，但a·b<0时，θ可能为__π__． ④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝__0__时，a·b＝|a|·|b|，当θ＝__π__时，a·b＝－|a|·|b|． ⑤对于实数a、b、c，若ab＝ac，a≠0，则b＝c；对于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，却推不出b＝c，只能得出__a⊥(b－c)__． ⑥a·b＝0 a＝0或b＝0，a＝0时，一定有a·b＝__0__． ⑦不为零的三个实数a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但对于三个向量a、b、c，(a·b)c__≠__a(b·c)，因为a·b是一个实数，(a·b)c是与c共线的向量，而a(b·c)是与a共线的向量，a与c却不一定共线． 五、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面． (2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向． (3)空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 2．空间两点间的距离公式 设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝. 六、空间向量的坐标运算 向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角 公式 cos〈a，b〉＝ 题型一 空间直角坐标系中的运算 【典例1】（2014·北京·高考真题）在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则 A． B．且 C．且 D．且 【典例2】（2019·全国高考题）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 【总结提升】 设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标． 题型二：空间向量的线性运算 【典例3】（2001·全国·高考真题）在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，